O polinômio p(x)=x^{5}-\frac{10}{9} x^{3}+\frac{5}{21} x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1 ; 1). Determine-os, pelo respectivo método, usando \varepsilon=10^{-6}.
\bar{x}_{3} : Método da Posição Falsa ([a,b]=[-0.25,0.25])

Passo 1

O enunciado pede o zero médio \bar{x}_{3} do polinômio
p(x)=x^{5}-\frac{10}{9}x^{3}+\frac{5}{21}x
no intervalo [-0,25;0,25] usando o método da Posição Falsa com tolerância \varepsilon=10^{-6}. O método da Posição Falsa aproxima a raiz c pela fórmula
c = \frac{a\,p(b)-b\,p(a)}{p(b)-p(a)}
atualizando o intervalo de forma que p(a) e p(b) tenham sinais opostos até \lvert p\text{(c)}\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Calcular os valores de p(a) e p(b) em a=-0,25 e b=0,25:
p(-0,25) = (-0,25)^{5}-\frac{10}{9}(-0,25)^{3}+\frac{5}{21}(-0,25) \approx 0,0104322,
p(0,25) = (0,25)^{5}-\frac{10}{9}(0,25)^{3}+\frac{5}{21}(0,25) \approx -0,0104322.
Como p(-0,25)\cdot p(0,25)<0, o zero está em [-0,25;0,25].

Passo 3

Aplicar a fórmula da Posição Falsa para obter c:
c = \frac{(-0,25)\,p(0,25) - (0,25)\,p(-0,25)}{p(0,25)-p(-0,25)} = \frac{(-0,25)(-0,0104322)-(0,25)(0,0104322)}{-0,0104322 - 0,0104322} = 0.

Passo 4

Calcular p\text{(c)} e verificar o critério de parada:
p(0)=0^{5}-\frac{10}{9}\,0^{3}+\frac{5}{21}\,0=0.
Como \lvert p\text{(c)}\rvert=0<10^{-6}, a aproximação já satisfaz a tolerância e o método converge em uma única iteração.

Resposta

\bar{x}_{3} = 0

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