5 Resolva o sistema linear a seguir pelo Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
\left\{\begin{array}{r} 1 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+1 x_{4}=1 \\\\ 2 x_{1}+1 x_{2}-1 x_{3}+3 x_{4}=-6 \\\\ -1 x_{1}+3 x_{2}+1 x_{3}-5 x_{4}=7 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}-6 x_{4}=13 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 1x_{1}+2x_{2}+4x_{3}+1x_{4}=1,\\\\ 2x_{1}+1x_{2}-1x_{3}+3x_{4}=-6,\\\\ -1x_{1}+3x_{2}+1x_{3}-5x_{4}=7,\\\\ 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}-6x_{4}=13 \end{cases}
usando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial. Vamos montar a matriz aumentada, em cada coluna escolher o pivô de maior valor absoluto entre as linhas disponíveis, trocar linhas se necessário e eliminar abaixo do pivô até obter forma triangular. Depois faremos substituição regressiva para encontrar (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 4 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 & 3 & -6\\\\ -1 & 3 & 1 & -5 & 7\\\\ 3 & 4 & 2 & -6 & 13 \end{array}\right)
Na coluna 1 os valores absolutos são 1,2,1,3; o maior é 3 na linha 4. Troco linha 1 com linha 4 e em seguida elimino abaixo de a_{11}:
R_1\leftrightarrow R_4, \quad R_i\gets R_i - \frac{a_{i1}}{a_{11}}\,R_1,\;i=2,3,4.
Isso gera
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 4 & 2 & -6 & 13\\\\ 0 & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{7}{3} & 7 & -\tfrac{44}{3}\\\\ 0 & \tfrac{13}{3} & \tfrac{5}{3} & -7 & \tfrac{34}{3}\\\\ 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{10}{3} & 3 & -\tfrac{10}{3} \end{array}\right).

Passo 3

Agora na coluna 2 (linhas 2–4) temos \bigl|{-\tfrac{5}{3}}\bigr|,\tfrac{13}{3},\tfrac{2}{3}; o maior é \tfrac{13}{3} na linha 3. Troco linhas 2 e 3 e elimino abaixo:
R_2\leftrightarrow R_3, \quad R_i\gets R_i - \frac{a_{i2}}{a_{22}}\,R_2,\;i=3,4.
Fica
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 4 & 2 & -6 & 13\\\\ 0 & \tfrac{13}{3} & \tfrac{5}{3} & -7 & \tfrac{34}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{22}{13} & \tfrac{56}{13} & -\tfrac{134}{13}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{40}{13} & \tfrac{53}{13} & -\tfrac{66}{13} \end{array}\right).

Passo 4

Na coluna 3 (linhas 3–4) os pivôs candidatos são \bigl|\!-\tfrac{22}{13}\bigr| e \tfrac{40}{13}; o maior é \tfrac{40}{13} em linha 4. Troco linhas 3 e 4 e elimino abaixo:
R_3\leftrightarrow R_4, \quad R_4\gets R_4 - \frac{a_{43}}{a_{33}}\,R_3.
Obtemos a forma triangular
\left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 4 & 2 & -6 & 13\\\\ 0 & \tfrac{13}{3} & \tfrac{5}{3} & -7 & \tfrac{34}{3}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{40}{13} & \tfrac{53}{13} & -\tfrac{66}{13}\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{131}{20} & -\tfrac{131}{10} \end{array}\right).

Passo 5

Agora fazemos substituição regressiva:
Da linha 4:
\frac{131}{20}\,x_{4} = -\tfrac{131}{10} \;\implies\; x_{4} = -2.
Da linha 3:
\frac{40}{13}\,x_{3} + \frac{53}{13}\,(-2) = -\frac{66}{13} \;\implies\; 40x_{3} -106 = -66 \;\implies\; x_{3}=1.
Da linha 2:
\frac{13}{3}\,x_{2} + \frac{5}{3}\,(1) -7\,(-2) = \frac{34}{3} \;\implies\; 13x_{2} +5 +42 =34 \;\implies\; x_{2}=-1.
Da linha 1:
3x_{1} +4(-1) +2(1) -6(-2) =13 \;\implies\; 3x_{1} -4 +2 +12=13 \;\implies\; x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1,\quad x_{2}=-1,\quad x_{3}=1,\quad x_{4}=-2.

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