Sejam f e g polinômios de grau <= n. Mostre que lang<= f, grang<==integrala^b f(t) g(t) d t é um produto interno em $P_{n}.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são polinômios de grau <= n e define
lang<= f,grang<= ;=;integrala^b f(t),g(t),dt
Queremos mostrar que isto satisfaz as três propriedades de um produto interno em Pn:
  1. simetria,
  2. linearidade no primeiro argumento,
  3. positividade definida.
    Vamos usar as propriedades básicas da integral de Riemann (ou de Lebesgue, se preferir): comutatividade do produto escalar de funções, linearidade da integral e fato de que integrala^b f(t)^2,dt=0 implica fequiv0.

Passo 2

Simetria: para quaisquer f,gin Pn temos
lang<= f,grang<= =integrala^bf(t),g(t),dt =integrala^bg(t),f(t),dt =lang<= g,frang<=,
pois a multiplicação de números reais é comutativa e a integral não se altera ao trocar a ordem dos fatores.

Passo 3

Linearidade no primeiro argumento: sejam f1,f2,gin Pn e alpha,betainR. Então
lang<= alpha f1+beta f2,,grang<= =integrala^bl(alpha f1(t)+beta f2(t)r)g(t),dt =alphaintegrala^bf1(t)g(t),dt +betaintegrala^bf2(t)g(t),dt =alphalang<= f1,grang<=+betalang<= f2,grang<=,
usando a linearidade da integral.

Passo 4

Positividade definida: para todo fin Pn,
lang<= f,frang<= =integrala^bf(t)^2,dt
Como f(t)^2>=0 em [a,b], a integral é >=0. Se além disso lang<= f,frang<==0, então integrala^bf(t)^2,dt=0 implica que f(t)^2=0 quase em todo lugar, ou seja, f(t)=0 em infinitos pontos de [a,b]. Mas um polinômio não nulo de grau <= n só pode ter no máximo n raízes, logo só pode ser o polinômio trivial fequiv0. Assim, lang<= f,frang<==0 se e somente se f=0.

Resposta

Mostramos que lang<=cdot,cdotrang<= é simétrico, linear no primeiro argumento e positivamente definido. Portanto
lang<= f,grang<==integrala^bf(t),g(t),dt
é de fato um produto interno em Pn.

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