e
polinômios de grau
. Mostre que
é um produto interno em $P_{n}.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são polinômios de grau
e define
Queremos mostrar que isto satisfaz as três propriedades de um produto interno em
:
- simetria,
- linearidade no primeiro argumento,
- positividade definida.
Vamos usar as propriedades básicas da integral de Riemann (ou de Lebesgue, se preferir): comutatividade do produto escalar de funções, linearidade da integral e fato de queimplica .
Passo 2
Simetria: para quaisquer
temos
pois a multiplicação de números reais é comutativa e a integral não se altera ao trocar a ordem dos fatores.
Passo 3
Linearidade no primeiro argumento: sejam
e
. Então
usando a linearidade da integral.
Passo 4
Positividade definida: para todo
,
Como
em
, a integral é
. Se além disso
, então
implica que
quase em todo lugar, ou seja,
em infinitos pontos de
. Mas um polinômio não nulo de grau
só pode ter no máximo
raízes, logo só pode ser o polinômio trivial
. Assim,
se e somente se
.
Resposta
Mostramos que
é simétrico, linear no primeiro argumento e positivamente definido. Portanto
é de fato um produto interno em
.