Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2 . Mostre que lang<= A, Brang<==traço(B^t A)̧ é um produto interno em $\mathrm{M}_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado define em M2times2(R) a aplicação
lang<= A,Brang<= = traçol(B^tAr) ç
e pede para mostrar que ela satisfaz as três propriedades de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida. Vamos usar propriedades do traço, em particular a linearidade e a invariância cíclica traço(XY)=traço(YX)çç.

Passo 2

(Propriedade de simetria)
Queremos mostrar lang<= A,Brang<==lang<= B,Arang<=.
lang<= A,Brang<= =traço(B^tA) =traço(A,B^t) (pela invariância cíclica do traço) ççâíç
Agora note que traço(A,B^t)=traçol((A,B^t)^tr)çç, mas (A,B^t)^t=B,A^t. Logo
traço(A,B^t) =traço(B,A^t) =traço(A^tB) =lang<= B,Arang<= ççç
Portanto, lang<= A,Brang<==lang<= B,Arang<=.

Passo 3

(Bilinearidade)
Mostramos a linearidade em cada argumento; por exemplo, no primeiro:
sejam A1,A2,BinM2times2(R) e alpha,betainR. Então
lang<= alpha A1+beta A2,;Brang<= =traçol(B^t(alpha A1+beta A2)r) =alpha,traço(B^tA1)+beta,traço(B^tA2) =alphalang<= A1,Brang<=+betalang<= A2,Brang<= ççç
Pela simetria já demonstrada, a linearidade no segundo argumento segue imediatamente.

Passo 4

(Positividade definida)
Para qualquer , temos
Isso é sempre , e vale zero somente se , i.e.\ somente quando é a matriz zero. Logo para .

Resposta

A aplicação lang<= A,Brang<==traço(B^tA)ç satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em M2times2(R).

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