Sejam
e
matrizes quadradas de ordem 2 . Mostre que
é um produto interno em $\mathrm{M}_{2 \times 2}.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para mostrar que ela satisfaz as três propriedades de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida. Vamos usar propriedades do traço, em particular a linearidade e a invariância cíclica
.
Passo 2
(Propriedade de simetria)
Queremos mostrar .
Queremos mostrar
Agora note que
, mas
. Logo
Portanto,
.
Passo 3
(Bilinearidade)
Mostramos a linearidade em cada argumento; por exemplo, no primeiro:
sejam e
. Então
Mostramos a linearidade em cada argumento; por exemplo, no primeiro:
sejam
Pela simetria já demonstrada, a linearidade no segundo argumento segue imediatamente.
Passo 4
(Positividade definida)
Para qualquer , temos
Para qualquer , temos
Isso é sempre
, e vale zero somente se
, i.e.\ somente quando
é a matriz zero. Logo
para
.
Resposta
A aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em
.