(1 ponto) De acordo com a Organização Mundial da Saúde, a proporção de pessoas que sofrem de ansiedade no Brasil é de 11 \%. Se uma amostra piloto de 100 brasileiros for selecionada de forma aleatória, qual a probabilidade de que a proporção de brasileiros ansiosos na amostra seja menor que 14 \% ?
a. 0.831
b. 0.603
c. 1.000
d. 0.622
e. 0.540

Passo 1

O enunciado diz que a proporção verdadeira de brasileiros ansiosos é p=0,11 e que extraímos uma amostra aleatória de tamanho n=100. Queremos a probabilidade de a proporção amostral \hat p ser menor que 0,14, isto é,
P(\hat p < 0,14).
O conteúdo necessário é a distribuição amostral de proporções e a aproximação pelo Teorema do Limite Central.

Passo 2

Pela teoria, para amostras grandes, \hat p é aproximadamente normal com
\mu_{\hat p} = p,\quad \sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.

Passo 3

Calculamos
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0,11\,(1-0,11)}{100}} = \sqrt{\frac{0,11\cdot0,89}{100}} \approx 0,03129.
Definimos a variável padronizada
Z = \frac{\hat p - p}{\sigma_{\hat p}} = \frac{0,14 - 0,11}{0,03129} \approx 0,9586.

Passo 4

Então
P(\hat p < 0,14) \approx P\bigl(Z < 0,9586\bigr) \approx 0,831.

Resposta

(a) 0,831

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