(1 ponto) Considere a função
f(x)=\left\{\begin{aligned} 0 & \text { se } x<0 \\\ C e^{-9 x} & \text { se } x \geq 0 \end{aligned}\right.
O valor da constante real C para que f(x) seja uma densidade é:
a. 81
b. 18
c. 9
d. -18
e. -9

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\\ C\,e^{-9x}, & x\ge0, \end{cases}
e pede o valor de C para que f seja uma densidade de probabilidade. Vamos usar que toda densidade deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.

Passo 2

Como f(x)=0 para x<0, a integral no domínio inteiro reduz-se a
\int_{0}^{\infty}C\,e^{-9x}\,dx=1.

Passo 3

Calculamos
\int_{0}^{\infty}e^{-9x}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{9}e^{-9x}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{9}.
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C\cdot\frac{1}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad C=9.

Resposta

(c) 9

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