(1 ponto) A análise dos dados históricos indica que na segunda metade do último século eram observados anualmente, em média, \mu=9 furacões no Atlântico. Um pesquisador deseja avaliar se \mu sofreu alteração no século atual. Considere os valores obtidos nos 10 primeiros anos do novo século como sendo uma amostra independente de uma distribuicão N\left(\mu, \sigma^{2}=101\right). Nesse contexto, se a média amostral observada foi de 14.24, então, a um nível de significância de 5 \%, deve-se concluir que:
a. H_{0}: \bar{x}=14.24 vs. H_{a}: \bar{x}>14.24. Há evidência de que a média (\mu) mudou.
b. H_{0}: \mu=9 vs. H_{a}: \mu \neq 9. Não há evidência de que a média (\mu) mudou.
c. H_{0}: \mu=9 vs. H_{a}: \mu \neq 9. Há evidência de que a média (\mu) mudou.
d. H_{0}: \bar{x}=9 vs. H_{a}: \bar{x}=14.24. Não há evidência de que a média não (\mu) mudou.
e. H_{0}: \mu=9 vs. H_{a}: \mu<9. A média (\mu) certamente se alterou.

Passo 1

O enunciado nos diz que historicamente o número médio anual de furacões era \mu=9 e que hoje temos uma amostra de tamanho n=10 vinda de uma distribuição normal com variância conhecida \sigma^{2}=101. A média amostral observada é \bar{x}=14{,}24. Queremos testar, a um nível de significância de 5\%, se o valor de \mu mudou no novo século.

Passo 2

Formulamos o teste de hipótese bilateral:
H_0:\mu=9 \quad\text{vs.}\quad H_a:\mu\neq 9.

Passo 3

Como \sigma é conhecida, usamos o estatístico
Z \;=\;\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
que, sob H_0, segue a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).

Passo 4

Calculamos o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{10}} =\sqrt{\frac{101}{10}} \approx 3{,}178.

Passo 5

Substituindo no Z:
Z =\frac{14{,}24 - 9}{3{,}178} \approx \frac{5{,}24}{3{,}178} \approx 1{,}65.

Passo 6

Para \alpha=0{,}05 e teste bilateral, a região crítica é \lvert Z\rvert>z_{0{,}025}=1{,}96. Aqui temos \lvert1{,}65\rvert<1{,}96, logo não rejeitamos H_0.

Resposta

b. H_{0}: \mu=9 vs. H_{a}: \mu \neq 9. Não há evidência de que a média (\mu) mudou.

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