(1 ponto) Qual o ângulo entre os vetores u=(1,0) e v=(1,3) \in \mathbb{R} \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores u=(1,0) e v=(1,3) em \mathbb{R}^2. Vamos usar o conceito de produto escalar:
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles.

Passo 2

Calcular o produto escalar u\cdot v. Como
u\cdot v = 1\cdot 1 + 0\cdot 3 = 1,
temos o numerador da fórmula do cosseno.

Passo 3

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
\|u\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1,
\|v\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.

Passo 4

Usar a definição de cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|} = \frac{1}{1\cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}.
Então
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}}\bigr), que em graus equivale a aproximadamente 71,6^\circ.

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