(1 ponto) Um aplicativo criado com o objetivo de aulixiar seus usuários na escolha do plano de saüde fez um levantamento da preferência dos clientes pelos planos oferecidos e registrou duas variáveis: X, referente ao plano de saúde escolhido, e Y, referente a idade do contratante. A distribuição de probabilidades conjunta de X e Y é dada por:
X \backslash Y 30 60
1 0.51 0.03
2 0.06 0.17
3 0.11 0.12
Sabendo que E(X)=1.69, E\left(X^{2}\right)=3.53, E(Y)=39.6 \in E\left(Y^{2}\right)=1764, assinale a alternativa correspondente à correlação entre as variáveis X e Y.
a. 0.494
b. 3.973
c. 0.506
d. 5.676
e. 0.346

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição conjunta de X (plano de saúde: 1, 2 ou 3) e Y (idade: 30 ou 60) na tabela abaixo e já dá
\,E(X)=1.69, \,E(X^2)=3.53, \,E(Y)=39.6, \,E(Y^2)=1764.
Queremos a correlação
\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}}
e, para isso, vamos precisar de E(XY), da covariância e das variâncias.

Passo 2

Calcular E(XY) somando x\,y\,p(x,y) sobre todos os pares (x,y):
E(XY)=1\cdot30\cdot0.51+1\cdot60\cdot0.03+2\cdot30\cdot0.06+2\cdot60\cdot0.17+3\cdot30\cdot0.11+3\cdot60\cdot0.12=72.6.

Passo 3

A covariância é
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)\,E(Y) =72.6 - (1.69)(39.6) =72.6 - 66.924 =5.676.

Passo 4

As variâncias vêm de
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =3.53 - (1.69)^2 =3.53 - 2.8561 =0.6739,
\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2 =1764 - (39.6)^2 =1764 - 1568.16 =195.84.

Passo 5

Assim, a correlação é
\rho_{XY} =\frac{5.676}{\sqrt{0.6739\;\times\;195.84}} \approx\frac{5.676}{\sqrt{131.999}} \approx\frac{5.676}{11.489} \approx0.494.

Resposta

(a) 0.494

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