Por um ponto arbitrário da diagonal de um paralelogramo trace duas paralelas aos lados, decompondo-as assim em quatro quadriláteros menores. Prove as seguintes afirmações:
a) Os quatro quadriláteros são paralelogramo.
b) Um par de paralelogramos é formado por paralelogramos que possuem a mesma área. Identifique-os e prove o fato que tem a mesma área.

Passo 1

O enunciado fala de um paralelogramo ABCD e de um ponto P qualquer sobre a diagonal AC. Por P traçam-se duas retas: uma paralela a AB (e a CD) e outra paralela a AD (e a BC). Essas retas dividem ABCD em quatro quadriláteros menores.
Conteúdo: Geometria vetorial de paralelogramos e razão de áreas. Vamos usar coordenadas vetoriais para mostrar primeiro que cada um dos quatro é paralelogramo e depois calcular as áreas para identificar o par de áreas iguais.

Passo 2

Introduzimos vetores de base colocando A na origem,
\overrightarrow{AB}=\mathbf w,\quad \overrightarrow{AD}=\mathbf v.
Então
B=\mathbf w,\quad D=\mathbf v,\quad C=\mathbf v+\mathbf w.
Como P está em AC, existe t\in(0,1) tal que
P=t\bigl(\mathbf v+\mathbf w\bigr).

Passo 3

Determinar as intersecções:
– A reta por P paralela a AB tem direção \mathbf w. Ela corta AD em
P_1=t\,\mathbf v
e corta BC em
P_2=\mathbf w + t\,\mathbf v.
– A reta por P paralela a AD tem direção \mathbf v. Ela corta AB em
P_3=t\,\mathbf w
e corta CD em
P_4=\mathbf v + t\,\mathbf w.

Passo 4

Mostrar que cada quadrilátero é paralelogramo. Por exemplo, no quadrilátero AP_3P P_1:
\overrightarrow{AP_3}=t\,\mathbf w,\quad \overrightarrow{P_1P}=\;P-P_1 =t(\mathbf v+\mathbf w)-t\,\mathbf v=t\,\mathbf w,
logo \overrightarrow{AP_3}\parallel\overrightarrow{P_1P} e têm mesmo comprimento.
E
\overrightarrow{AP_1}=t\,\mathbf v,\quad \overrightarrow{P_3P}=t\,\mathbf v,
logo \overrightarrow{AP_1}\parallel\overrightarrow{P_3P}. Assim AP_3PP_1 é paralelogramo.
Analogamente, podem-se verificar lados opostos paralelos e iguais em
B\,P_2\,P\,P_3,\quad D\,P_1\,P\,P_4,\quad C\,P_4\,P\,P_2.

Passo 5

Calcular as áreas via determinante: a área de ABCD é
S=\bigl|\det[\mathbf v\;\mathbf w]\bigr|.
– No paralelogramo AP_3PP_1 (vértice em A) as arestas são t\,\mathbf w e t\,\mathbf v, então sua área é
S_A=\bigl|\det[t\,\mathbf v\;t\,\mathbf w]\bigr| =t^2\bigl|\det[\mathbf v\;\mathbf w]\bigr| =t^2S.
– Analogamente, no de vértice C, as arestas são (1-t)\mathbf v e (1-t)\mathbf w, logo
S_C=(1-t)^2S.
– Nos paralelogramos centrais, digamos em B\,P_2\,P\,P_3, as arestas são t\,\mathbf v e (1-t)\mathbf w, de modo que
S_B=\bigl|\det[t\,\mathbf v\;(1-t)\mathbf w]\bigr| =t(1-t)S.
E em D\,P_1\,P\,P_4 as arestas são (1-t)\mathbf v e t\,\mathbf w, também dando
S_D=t(1-t)S.

Passo 6

Identificar o par de áreas iguais. Vemos que
S_B=S_D=t(1-t)S,
enquanto S_A=t^2S e S_C=(1-t)^2S são, em geral, diferentes de S_B. Portanto o par de paralelogramos que têm a mesma área é
B\,P_2\,P\,P_3 \quad\text{e}\quad D\,P_1\,P\,P_4.

Resposta

a) Cada um dos quatro quadriláteros formados é paralelogramo, pois seus lados opostos são paralelos (e congruentes) pelas retas traçadas em P.
b) Os paralelogramos B\,P_2\,P\,P_3 e D\,P_1\,P\,P_4 têm exatamente a mesma área, igual a t(1-t) vezes a área de ABCD.

Exercícios relacionados