Prove que á área do quadrado inscrito num círculo é igual à metade da área do quadrado circunscrito no mesmo círculo
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um círculo de raio
e queremos comparar a área de dois quadrados associados a ele:
- o quadrado circunscrito, que contém o círculo no seu interior (o círculo é inscrito nesse quadrado);
- o quadrado inscrito, cujos vértices tocam a circunferência.
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Calcular o lado do quadrado circunscrito. Nesse caso o círculo está inscrito no quadrado, isto é, cada lado do quadrado tangencia o círculo no ponto médio. Logo a diagonal vertical (ou horizontal) do círculo, que é o seu diâmetro, vale exatamente o lado do quadrado. Como o diâmetro é
, temos
Portanto sua área é
Passo 3
Calcular o lado do quadrado inscrito. Aqui o quadrado está dentro do círculo, tocando-o pelos quatro vértices. A diagonal do quadrado inscrito coincide com o diâmetro do círculo, isto é,
Se chamarmos de
o lado desse quadrado, pelo Teorema de Pitágoras na metade do quadrado temos
Logo a área do quadrado inscrito é
Passo 4
Comparando as duas áreas obtidas:
logo
Isso conclui a prova.
Resposta
A área do quadrado inscrito é exatamente metade da área do quadrado circunscrito.