Prove que á área do quadrado inscrito num círculo é igual à metade da área do quadrado circunscrito no mesmo círculo

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um círculo de raio R e queremos comparar a área de dois quadrados associados a ele:
  1. o quadrado circunscrito, que contém o círculo no seu interior (o círculo é inscrito nesse quadrado);
  2. o quadrado inscrito, cujos vértices tocam a circunferência.
    O objetivo é mostrar que
\text{área do quadrado inscrito} \;=\;\tfrac12\;\text{área do quadrado circunscrito}.áá

Passo 2

Calcular o lado do quadrado circunscrito. Nesse caso o círculo está inscrito no quadrado, isto é, cada lado do quadrado tangencia o círculo no ponto médio. Logo a diagonal vertical (ou horizontal) do círculo, que é o seu diâmetro, vale exatamente o lado do quadrado. Como o diâmetro é 2R, temos
\text{lado do quadrado circunscrito} = 2R.
Portanto sua área é
A_{\text{circ}} = (2R)^2 = 4R^2.

Passo 3

Calcular o lado do quadrado inscrito. Aqui o quadrado está dentro do círculo, tocando-o pelos quatro vértices. A diagonal do quadrado inscrito coincide com o diâmetro do círculo, isto é,
\text{diagonal do quadrado inscrito} = 2R.
Se chamarmos de s o lado desse quadrado, pelo Teorema de Pitágoras na metade do quadrado temos
s\sqrt2 = 2R \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{2R}{\sqrt2} = R\sqrt2.
Logo a área do quadrado inscrito é
A_{\text{insc}} = s^2 = \bigl(R\sqrt2\bigr)^2 = 2R^2.

Passo 4

Comparando as duas áreas obtidas:
A_{\text{insc}} = 2R^2 \quad\text{e}\quad A_{\text{circ}} = 4R^2,
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A_{\text{insc}} = \frac{2R^2}{4R^2}\,A_{\text{circ}} = \frac12\,A_{\text{circ}}.
Isso conclui a prova.

Resposta

A área do quadrado inscrito é exatamente metade da área do quadrado circunscrito.

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