( 1,5 ponto cada item) Admitindo que o nível de ácido úrico (em jejum) em indivíduos do sexo feminino de uma cidade siga o modelo normal, 8 pacientes foram sorteados e tiveram seu ácido úrico medido e os resultados foram:
2,4 ; 5,0 ; 6,5 ; 4,1 ; 3,7 ; 2,5 ; 3,9 \text { e } 2,9(\mathrm{em} \mathrm{mg} / \mathrm{dl}) .
(a) Teste se a média é 4,2 \mathrm{mg} / \mathrm{dl} com nível de significância 4 \% (faça um teste de hipótese bilateral).
(b) Determine o intervalo de confiança para a média com coeficiente de confiança \gamma=97 \%.

Passo 1

O enunciado diz que temos n=8 observações do nível de ácido úrico em jejum \mathrm{mg/dl}, que são
2,4,\;5,0,\;6,5,\;4,1,\;3,7,\;2,5,\;3,9,\;2,9.
Assumimos que esses valores seguem uma distribuição normal com média desconhecida e variância desconhecida. No item (a) vamos testar, a nível de significância de 4\%, a hipótese
H_0:\mu=4,2 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu\neq4,2
usando o teste t. No item (b) vamos construir o intervalo de confiança de 97\% para \mu também com a distribuição t de Student (graus de liberdade n-1=7).

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s.
A média amostral é
\bar x =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i =\frac{2,4+5,0+6,5+4,1+3,7+2,5+3,9+2,9}{8} =\frac{31,0}{8} =3,875.
O desvio-padrão amostral usa
s^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 \approx\frac{13,2548}{7} \approx1,8935,
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s=\sqrt{1,8935}\approx1,376.

Passo 3

Realizar o teste de hipótese bilateral usando
t =\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{3,875-4,2}{1,376/\sqrt{8}} \approx\frac{-0,325}{0,4867} \approx-0,668.
Para \alpha=0,04 e df=7, o valor crítico de t em cada cauda é
t_{0,02,7}\approx2,998,
então a região de rejeição é \{\,t\mid|t|>2,998\}. Como |-0,668|<2,998, não rejeitamos H_0.

Passo 4

Construir o intervalo de confiança de 97\%. Temos \alpha=0,03, \alpha/2=0,015, e o quantil é
t_{0,015,7}\approx2,787.
O IC é
\bar x\pm t_{0,015,7}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =3,875\pm2,787\cdot\frac{1,376}{\sqrt{8}} =3,875\pm2,787\cdot0,4867 =3,875\pm1,356,
ou seja
[\,2,519;\;5,231\,]\quad(\mathrm{mg/dl}).

Resposta

(a) Estatística t\approx-0,668, valor crítico \pm2,998. Como |t|<2,998, não rejeitamos H_0.
(b) Intervalo de confiança de 97\% para \mu: [2,519;\,5,231] mg/dl.

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