(1,0 ponto cada item) Calcule as integrais definidas abaixo.
integral-1^1 x-x^2raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de x - x^2raiz[3]x de -1 a 1. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de integração de funções com potências e entender um pouco sobre funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A expressão raiz[3]x é o mesmo que x^1/3. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral-1^1 x - x^2x^1/3 , dx

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador x^1/3:
xx^1/3 = x^1 - 13 = x^23
x^2x^1/3 = x^2 - 13 = x^53
Então, a integral fica:
integral-1^1 ( x^23 - x^53 ) , dx

Passo 4

Vamos analisar as funções dentro da integral:
  • x^23 é uma função par porque x^23 = (-x)^23.
  • x^53 é uma função ímpar porque x^53 = -(-x)^53.
Sabendo disso, quando integramos uma função par de -a até a, podemos multiplicar a integral de 0 a a por 2. Já para funções ímpares, a integral de -a a a é zero.

Passo 5

Aplicando essas propriedades na nossa integral:
integral-1^1 x^23 , dx = 2 integral0^1 x^23 , dx
integral-1^1 x^53 , dx = 0
Então, a integral original simplifica para:
2 integral0^1 x^23 , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de x^23:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral0^1 x^23 , dx = [ x^5353 ]0^1 = 35 (1^53 - 0^53) = 35
Multiplicando por 2:
2 times 35 = 65

Resposta

O valor da integral é 65.

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