(1,0 ponto cada item) Calcule as integrais definidas abaixo.
integral1^2 1e^2 x-1 d x (Dica. Derive f(x)=1a e^a x+b )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral1^2 1e^2x-1 dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que têm exponente linear, ou seja, funções do tipo e^ax + b.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função que temos é 1e^2x-1. Sabemos que 1e^k = e^-k, então podemos reescrever a função assim:
1e^2x-1 = e^-(2x - 1) = e^-2x + 1

Passo 3

Agora nossa integral fica:
integral1^2 e^-2x + 1 dx
Para facilitar, vamos fatorar o expoente:
e^-2x + 1 = e^1 cdot e^-2x = e cdot e^-2x
Então, a integral passa a ser:
e integral1^2 e^-2x dx

Passo 4

Vamos lembrar de uma regra básica de integração. Sabemos que a integral de e^ax em relação a x é:
integral e^ax dx = 1a e^ax + C
No nosso caso, a = -2. Aplicando a regra:
integral e^-2x dx = 1-2 e^-2x + C = -12 e^-2x + C

Passo 5

Voltando à nossa integral com os limites de 1 a 2:
e integral1^2 e^-2x dx = e [ -12 e^-2x ]1^2
Isso significa que vamos calcular o valor dessa expressão nos limites superior e inferior e depois subtrair:
e ( -12 e^-4 + 12 e^-2 )

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
e ( 12 e^-2 - 12 e^-4 ) = e2 ( e^-2 - e^-4 )
Podemos fatorar e^-2:
e2 e^-2 ( 1 - e^-2 ) = e^-12 ( 1 - e^-2 )

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
e^-12 ( 1 - e^-2 )

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