Questão 2 (5 pt) A região B que fica dentro da superfície x^2+y^2+z^2=R^2 e acima do plano z=0 é preenchida por um material cuja densidade volumétrica de massa é mu=A0(R^2-z^2), onde A0 é uma constante. Seu centro de massa tem coordenadas (0,0, zM). Encontre zM.
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Passo 1

Beleza, recapitulemos: a gente tem a semiesfera acima do plano z=0 definida por
x^2+y^2+z^2<= R^2, z>=0
e a densidade volumétrica é
mu(x,y,z)=A0l(R^2 - z^2r)
O que queremos é o centro de massa na coordenada z, ou seja
zM=1Mintegral triplaB z,mu,dV
Conteúdo envolvido: baricentro em 3D com densidade variável e integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a massa total
M=integral triplaBmu,dV =integralz=0^R!!integraltheta=0^2pi!!integralr=0^raizR^2-z^2 A0,(R^2-z^2);r,dr,dtheta,dz
– Integração em r:
integral0^raizR^2-z^2r,dr =12l(R^2-z^2r)
– Integração em theta dá fator 2pi. Logo
M =A0integral0^R!2pi,(R^2-z^2),12(R^2-z^2),dz =A0piintegral0^R(R^2-z^2)^2dz
Agora expandimos e integramos:
integral0^R(R^2-z^2)^2dz =integral0^Rl(R^4-2R^2z^2+z^4r)dz =[R^4z-2R^2z^33+z^55]0^R =815R^5
Portanto
M=815,A0pi,R^5

Passo 3

Agora o momento em z:
integral triplaB z,mu,dV =A0integral0^R!!integral0^2pi!!integral0^raizR^2-z^2 z,(R^2-z^2),r,dr,dtheta,dz
De novo integral r,dr=tfrac12(R^2-z^2) e theta 2pi, sobrando
integral triplaB z,mu,dV =A0piintegral0^R z,(R^2-z^2)^2dz
Para essa integral, use u=R^2-z^2, du=-2z,dz:
integral0^R z,(R^2-z^2)^2dz =12integralR^2^0u^2(-du) =12integral0^R^2u^2du =R^66
Logo
integral triplaB z,mu,dV =A0pi,R^66

Passo 4

É só dividir momento por massa:
zM =A0pi R^66 815A0pi R^5 =R;1548 =5R16

Resposta

zM = 5R16

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