Questão 2 (5 pt) A região
que fica dentro da superfície
e acima do plano
é preenchida por um material cuja densidade volumétrica de massa é
, onde
é uma constante. Seu centro de massa tem coordenadas
. Encontre
.
1
1
Passo 1
Beleza, recapitulemos: a gente tem a semiesfera acima do plano
definida por
e a densidade volumétrica é
O que queremos é o centro de massa na coordenada
, ou seja
Conteúdo envolvido: baricentro em 3D com densidade variável e integração tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, calculamos a massa total
– Integração em
:
– Integração em
dá fator
. Logo
Agora expandimos e integramos:
Portanto
Passo 3
Agora o momento em
:
De novo
e
dá
, sobrando
Para essa integral, use
,
:
Logo
Passo 4
É só dividir momento por massa: