(1,0 ponto) Calcule a distancia entre os planos
\pi_{1}: 2 x-y+2 z+6=0 \text { e } \pi_{2}: 4 x-2 y+4 z+12=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
\pi_{1}: 2x - y + 2z + 6 = 0
e
\pi_{2}: 4x - 2y + 4z + 12 = 0.
O conteúdo é geometria analítica no espaço, tratando de planos paralelos e distância entre eles.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano: \mathbf{n}_1 = (2,-1,2) a partir de \pi_1
e \mathbf{n}_2 = (4,-2,4) a partir de \pi_2.
Observamos que
\mathbf{n}_2 = 2\,\mathbf{n}_1,
logo os planos são paralelos ou coincidentes.

Passo 3

Para verificar se são coincidentes, checamos se a mesma constante de proporcionalidade que relaciona os normais relaciona também os termos livres. Multiplicando a equação de \pi_1 por 2, obtemos
2\,(2x - y + 2z + 6) = 4x - 2y + 4z + 12,
que é exatamente a equação de \pi_2.

Passo 4

Como a equação de \pi_2 é idêntica à de \pi_1 multiplicada por 2, concluímos que os planos coincidem (são o mesmo plano).

Resposta

A distância entre \pi_1 e \pi_2 é 0.

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