Questão: ( 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede:
(1,2 pontos) Calcule o determinante da matriz A, det A, sendo A=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 2 & 0 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4\times4. O conteúdo que vamos usar é a expansão de Laplace (cofatores) ao longo da primeira linha, pois ela tem um zero, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Aplicando a expansão de Laplace na primeira linha, temos
\det(A) = a_{11}\,C_{11} - a_{12}\,C_{12} + a_{13}\,C_{13} - a_{14}\,C_{14},
onde a_{1j} é o elemento da primeira linha e C_{1j}=\det(M_{1j}) é o menor correspondente. Como a_{11}=0, sobra
\det(A) = -a_{12}\,\det(M_{12}) + a_{13}\,\det(M_{13}) - a_{14}\,\det(M_{14}).

Passo 3

Calcular \det(M_{12}). Ao remover a linha 1 e a coluna 2 obtemos
M_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 2 & 1 & 0 \\[6pt] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Fazendo outra expansão na primeira linha deste 3\times3,
\det(M_{12}) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&0\\\ -1&0\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ -1&0\end{pmatrix} = 0-0+(2\cdot0 - 1\cdot(-1))=1.]

Passo 4

Calcular \det(M_{13}). Removendo linha 1 e coluna 3,
M_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 2 & 1 & 0 \\[6pt] -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha,
\det(M_{13}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&0\\\ -1&0\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ -1&2\end{pmatrix} =0-0+(2\cdot2 - 1\cdot(-1))=5.]

Passo 5

Calcular \det(M_{14}). Removendo linha 1 e coluna 4,
M_{14} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 2 & 1 & 1 \\[6pt] -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Novamente pela primeira linha,
\det(M_{14}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ -1&0\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ -1&2\end{pmatrix} =(1\cdot0 -1\cdot2) - (2\cdot0 -1\cdot(-1)) + (2\cdot2 -1\cdot(-1)) =-2 -1 +5 =2.]

Passo 6

Agora somamos as contribuições conforme a fórmula do Passo 2, lembrando que a_{12}=a_{13}=a_{14}=1:
\det(A) = -1\cdot1 + 1\cdot5 - 1\cdot2 = -1 +5 -2 =2.

Resposta

\det(A)=2

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