Questão: ( 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede:
( 1,3 pontos) Seja
uma matriz quadrada de ordem
tal que
. Calcule, se posssível, o determinante da matriz
.
( 1,3 pontos) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
e satisfaz
Vamos usar fatoração polinomial de matrizes e a propriedade
para encontrar
.
Passo 2
Fatoramos o polinômio em
:
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Tomando determinantes em ambos os lados da equação
, obtemos
Pela multiplicatividade do determinante,
Passo 4
Da igualdade
seguem duas possibilidades:
Passo 5
Se
e ao mesmo tempo
, então
é invertível. Como o polinômio mínimo de
divide
, os únicos autovalores possíveis são
e
. Sendo
invertível, não pode ter autovalor
, logo todos os autovalores valem
. Portanto
Passo 6
Reunindo as duas situações, concluímos que