Questão: ( 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede:
( 1,3 pontos) Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que Q^{3}+2 Q^{2}=0. Calcule, se posssível, o determinante da matriz Q.

Passo 1

O enunciado diz que Q é uma matriz quadrada de ordem n e satisfaz
Q^{3} + 2\,Q^{2} = 0.
Vamos usar fatoração polinomial de matrizes e a propriedade \det(AB)=\det(A)\det(B) para encontrar \det(Q).

Passo 2

Fatoramos o polinômio em Q:
Q^{3} + 2\,Q^{2} \;=\; Q^{2}(Q + 2I) \;=\; 0,
onde I é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Tomando determinantes em ambos os lados da equação Q^{2}(Q + 2I)=0, obtemos
\det\bigl(Q^{2}(Q+2I)\bigr) \;=\;\det(0)\;=\;0.
Pela multiplicatividade do determinante,
\det(Q^{2})\,\det(Q+2I) \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \det(Q)^{2}\,\det(Q+2I) \;=\;0.

Passo 4

Da igualdade \det(Q)^{2}\,\det(Q+2I)=0 seguem duas possibilidades:
\det(Q)=0 \quad\text{ou}\quad \det(Q+2I)=0.

Passo 5

Se \det(Q+2I)=0 e ao mesmo tempo \det(Q)\neq0, então Q é invertível. Como o polinômio mínimo de Q divide x^{2}(x+2), os únicos autovalores possíveis são 0 e -2. Sendo Q invertível, não pode ter autovalor 0, logo todos os autovalores valem -2. Portanto
\det(Q)=(-2)^{n}.

Passo 6

Reunindo as duas situações, concluímos que
\det(Q)\;\in\;\{\,0,\;(-2)^{n}\}.

Resposta

\det(Q)=0 ou \det(Q)=(-2)^{n}.

Exercícios relacionados