( 1,0 ponto) Utilize os conhecimentos acerca de testes de convergência para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}
é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries de termos positivos, em particular o teste de comparação ou o teste de comparação por limite com uma série p-série.

Passo 2

Relembremos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos um termo geral aproximado por
\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\sim \frac{1}{\sqrt{2n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\;\frac{1}{\sqrt{n}}\,,
ou seja, comporta-se como uma p-série com p=\tfrac12\le1, que diverge.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, aplicamos o teste da comparação por limite com
\;b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\,,
cuja série \sum b_n diverge. Calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{2n+1}}{1/\sqrt{n}} =\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{2n+1}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\,,
que é um número real positivo e finito.

Passo 4

Pelo teste de comparação por limite, como 0< L<\infty e \sum b_n diverge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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