( 1,0 ponto) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+4 x+1}\right) no ponto (0,1) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+4x+1}\right) e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+4x+1}\right).
  • O ponto onde se quer a reta tangente é (0,1).
Observação importante (sem resolver ainda): ao avaliar a função em x=0 obtemos f(0)=\ln(\sqrt{1})=\ln(1)=0. Logo o ponto (0,1) NÃO pertence ao gráfico de f (no gráfico, o ponto com abscissa 0 é (0,0)). Isso cria uma contradição com o enunciado original. Como não posso perguntar nada, vou resolver seguindo dois caminhos plausíveis e úteis:
A) interpretar que o enunciado queria a reta tangente no ponto de abscissa x=0 (ou seja, no ponto (0,f(0))=(0,0));
B) interpretar que o enunciado queria a reta tangente no(s) ponto(s) do gráfico onde a ordenada vale 1 (i.e., resolver para x tal que f(x)=1 e achar as tangentes nesses pontos).
Vou calcular ambos, explicando passo a passo a teoria usada.

Passo 2

Fórmula da reta tangente e interpretação do que preciso calcular.
Teoria básica (explicação didática): a reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto de abscissa a tem equação
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • f(a) é a ordenada do ponto de tangência;
  • f'(a) é a derivada de f em a, que é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente;
  • x e y são variáveis do plano.
Portanto, para obter a reta tangente precisamos:
  1. Calcular f(a);
  2. Calcular f'(a);
  3. Substituir na expressão acima.
Vou agora calcular a derivada f'(x) de forma detalhada (regra do log e cadeia).

Passo 3

Cálculo de f'(x) explicando as regras usadas.
Primeiro reescrevo a função para facilitar a derivação:
f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+4x+1}\right)=\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+4x+1\big).
Justificativa: \ln(\sqrt{u})=\ln(u^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln(u).
Agora uso a regra de derivação da função \ln(u(x)): se g(x)=\ln(u(x)) então g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Também uso a regra da constante multiplicativa: (c\cdot h(x))' = c\cdot h'(x).
Aplicando isso a f(x)=\tfrac{1}{2}\ln(u(x)) com u(x)=x^{2}+4x+1:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Calculo u'(x):
u'(x)=(x^{2}+4x+1)' = 2x+4.
Logo
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+4}{x^{2}+4x+1}.
Simplificando o 1/2 com o 2x+4:
f'(x)=\frac{x+2}{x^{2}+4x+1}.
Essa é a expressão da derivada; ela nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer abscissa x.

Passo 4

Interpretação A — reta tangente na abscissa x=0 (isto é, no ponto (0,f(0))).
Calculo f(0) e f'(0):
f(0)=\ln\!\left(\sqrt{0^{2}+4\cdot0+1}\right)=\ln(1)=0.
f'(0)=\frac{0+2}{0^{2}+4\cdot0+1}=\frac{2}{1}=2.
Aplicando a fórmula da reta tangente com a=0:
y = f(0) + f'(0)\,(x-0) = 0 + 2x = 2x.
Interpretação final: se a intenção fosse a reta tangente na abscissa 0, a equação é y=2x. Observe que essa reta passa por (0,0), consistente com f(0)=0.

Passo 5

Interpretação B — reta(s) tangente(s) no(s) ponto(s) do gráfico onde a ordenada vale 1 (ou seja, resolver f(x)=1 e calcular tangente em cada solução).
Primeiro resolvo f(x)=1:
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+4x+1}\right)=1
equivale a
\sqrt{x^{2}+4x+1}=e
(e porque e^{1}=e). Elevando ao quadrado:
x^{2}+4x+1=e^{2}.
Reescrevo como equação quadrática:
x^{2}+4x+(1-e^{2})=0.
Calculo o discriminante \Delta:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot(1-e^{2}) = 16-4(1-e^{2}) = 16-4+4e^{2}=12+4e^{2}=4(3+e^{2}).
Logo as raízes são
x = \frac{-4 \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3+e^{2}}}{2} = -2 \pm \sqrt{3+e^{2}}.
Denoto s=\sqrt{3+e^{2}}. As duas abscissas com f(x)=1 são
x_{1}=-2 + s,\qquad x_{2}=-2 - s.
Agora calculo a inclinação f'(x) nesses pontos. Lembre que em qualquer ponto com f(x)=1 temos x^{2}+4x+1=e^{2}, portanto ao avaliar f' simplifica:
f'(x)=\frac{x+2}{x^{2}+4x+1}=\frac{x+2}{e^{2}}.
Para x_{1} e x_{2}:
x_{1}+2 = (-2+s)+2 = s,\qquad x_{2}+2 = (-2-s)+2 = -s.
Portanto as inclinações são
m_{1} = \frac{s}{e^{2}} = \frac{\sqrt{3+e^{2}}}{e^{2}},\qquad m_{2} = \frac{-s}{e^{2}} = -\frac{\sqrt{3+e^{2}}}{e^{2}}.
Equações das retas tangentes (usando y-1=m(x-x_{i}), já que a ordenada é 1):
Para x_{1}=-2+s e m_{1}=s/e^{2}:
y-1=\frac{s}{e^{2}}\bigl(x-(-2+s)\bigr)=\frac{s}{e^{2}}(x+2-s).
Ou, escrevendo explicitamente,
y=1+\frac{\sqrt{3+e^{2}}}{e^{2}}\,(x+2-\sqrt{3+e^{2}}).
Para x_{2}=-2-s e m_{2}=-s/e^{2}:
y-1=-\frac{s}{e^{2}}\bigl(x-(-2-s)\bigr)=-\frac{s}{e^{2}}(x+2+s),
ou
y=1-\frac{\sqrt{3+e^{2}}}{e^{2}}\,(x+2+\sqrt{3+e^{2}}).
Essas duas retas são as tangentes nos pontos do gráfico onde f(x)=1.

Passo 6

Resumo interpretativo e observação final (motivação e ânimo).
  • Como observado no Passo 1, o ponto (0,1) não pertence ao gráfico de f porque f(0)=0. Por isso a pergunta tal como escrita é impossível de atender literalmente.
  • Entreguei a solução mais provável e as alternativas úteis: a reta tangente na abscissa 0 (caso o enunciado quisesse (0,f(0))) e as retas tangentes nos pontos onde a ordenada é 1 (caso o enunciado quisesse a tangente no ponto indicado por y=1).
    Força aí — se a prova trouxer algo assim, o método é sempre: calcular f(a), calcular f'(a) pela regra da cadeia/ln e montar y=f(a)+f'(a)(x-a). Agora já sabe fazer na pressa.

Resposta

Impossível: (0,1) não pertence ao gráfico porque f(0)=0.
Se a intenção era a reta tangente em x=0 (ponto (0,f(0))=(0,0)): y=2x.
Se a intenção era a reta tangente no(s) ponto(s) com f(x)=1 (duas soluções), com s=\sqrt{3+e^{2}}:
y=1+\dfrac{s}{e^{2}}\,(x+2-s) e y=1-\dfrac{s}{e^{2}}\,(x+2+s).

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