( 1,0 ponto) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde se quer a reta tangente é
.
Observação importante (sem resolver ainda): ao avaliar a função em
obtemos
. Logo o ponto
NÃO pertence ao gráfico de
(no gráfico, o ponto com abscissa
é
). Isso cria uma contradição com o enunciado original. Como não posso perguntar nada, vou resolver seguindo dois caminhos plausíveis e úteis:
A) interpretar que o enunciado queria a reta tangente no ponto de abscissa (ou seja, no ponto
);
B) interpretar que o enunciado queria a reta tangente no(s) ponto(s) do gráfico onde a ordenada vale (i.e., resolver para
tal que
e achar as tangentes nesses pontos).
Vou calcular ambos, explicando passo a passo a teoria usada.
A) interpretar que o enunciado queria a reta tangente no ponto de abscissa
B) interpretar que o enunciado queria a reta tangente no(s) ponto(s) do gráfico onde a ordenada vale
Vou calcular ambos, explicando passo a passo a teoria usada.
Passo 2
Fórmula da reta tangente e interpretação do que preciso calcular.
Teoria básica (explicação didática): a reta tangente ao gráfico de uma função
no ponto de abscissa
tem equação
Aqui:
-
é a ordenada do ponto de tangência; -
é a derivada de em , que é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente; -
e são variáveis do plano.
Portanto, para obter a reta tangente precisamos:
- Calcular
; - Calcular
; - Substituir na expressão acima.
Vou agora calcular a derivada
de forma detalhada (regra do log e cadeia).
Passo 3
Cálculo de
explicando as regras usadas.
Primeiro reescrevo a função para facilitar a derivação:
Justificativa:
.
Agora uso a regra de derivação da função
: se
então
. Também uso a regra da constante multiplicativa:
.
Aplicando isso a
com
:
Calculo
:
Logo
Simplificando o
com o
:
Essa é a expressão da derivada; ela nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer abscissa
.
Passo 4
Interpretação A — reta tangente na abscissa
(isto é, no ponto
).
Calculo
e
:
Aplicando a fórmula da reta tangente com
:
Interpretação final: se a intenção fosse a reta tangente na abscissa
, a equação é
. Observe que essa reta passa por
, consistente com
.
Passo 5
Interpretação B — reta(s) tangente(s) no(s) ponto(s) do gráfico onde a ordenada vale
(ou seja, resolver
e calcular tangente em cada solução).
Primeiro resolvo
:
equivale a
(e porque
). Elevando ao quadrado:
Reescrevo como equação quadrática:
Calculo o discriminante
:
Logo as raízes são
Denoto
. As duas abscissas com
são
Agora calculo a inclinação
nesses pontos. Lembre que em qualquer ponto com
temos
, portanto ao avaliar
simplifica:
Para
e
:
Portanto as inclinações são
Equações das retas tangentes (usando
, já que a ordenada é
):
Para
e
:
Ou, escrevendo explicitamente,
Para
e
:
ou
Essas duas retas são as tangentes nos pontos do gráfico onde
.
Passo 6
Resumo interpretativo e observação final (motivação e ânimo).
- Como observado no Passo 1, o ponto
não pertence ao gráfico de porque . Por isso a pergunta tal como escrita é impossível de atender literalmente. - Entreguei a solução mais provável e as alternativas úteis: a reta tangente na abscissa
(caso o enunciado quisesse ) e as retas tangentes nos pontos onde a ordenada é (caso o enunciado quisesse a tangente no ponto indicado por ).
Força aí — se a prova trouxer algo assim, o método é sempre: calcular, calcular pela regra da cadeia/ln e montar . Agora já sabe fazer na pressa.
Resposta
Impossível:
não pertence ao gráfico porque
.
Se a intenção era a reta tangente em (ponto
):
.
Se a intenção era a reta tangente no(s) ponto(s) com (duas soluções), com
:
e
.
Se a intenção era a reta tangente em
Se a intenção era a reta tangente no(s) ponto(s) com