( 0,5 ponto) Calcule o valor do pH de uma solução 0,2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de ácido cianídrico ( HCN ), sabendo que o valor de \mathrm{K}_{a} para esse ácido é 1,0 \times 10^{-10}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o pH de uma solução de ácido cianídrico com concentração inicial 0,2\\ \mathrm{mol/L} e constante de ionização \mathrm{K}_{a}=1,0\times10^{-10}.
Informações dadas:
\;[HCN]_{0}=0,2\\ \mathrm{mol/L} (concentração inicial do ácido)
\;\mathrm{K}_{a}=1,0\times10^{-10}
Pergunta: calcular o pH da solução.

Passo 2

Vamos escrever a reação de ionização do ácido e a expressão da constante de acidez. A ionização é:
HCN \rightleftharpoons H^{+} + CN^{-}
A constante de acidez é definida por
K_{a}=\frac{[H^{+}]\,[CN^{-}]}{[HCN]}
Aqui [H^{+}] é a concentração dos prótons no equilíbrio, [CN^{-}] é a concentração dos ânions cianeto no equilíbrio e [HCN] é a concentração do ácido restante no equilíbrio.

Passo 3

Faço uma tabela ICE (Inicial, Variação, Equilíbrio). Chamo de x a concentração de H^{+} formada na ionização.
\begin{array}{lccc} & \text{Inicial} & \text{Variação} & \text{Equilíbrio} \\\ [HCN] & 0,2 & -x & 0,2-x \\\ [H^{+}] & 0 & +x & x \\\ [CN^{-}] & 0 & +x & x \end{array}çãí

Passo 4

Substituo as concentrações de equilíbrio na expressão de K_{a}:
K_{a}=\frac{x\cdot x}{0,2-x}=\frac{x^{2}}{0,2-x}
Isto leva à equação:
x^{2}+K_{a}\,x-K_{a}\cdot0,2=0
mas, como K_{a} é muito pequeno e espera-se que x\ll0,2, usamos a aproximação 0,2-x\approx0,2. Essa é uma aproximação padrão para ácidos fracos quando x/0,2 é muito pequeno (vamos checar a validade depois).

Passo 5

Com a aproximação 0,2-x\approx0,2 obtemos:
K_{a}\approx\frac{x^{2}}{0,2}\quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{K_{a}\cdot0,2}
Aqui x é justamente [H^{+}] no equilíbrio, que é o que precisamos para calcular o pH.

Passo 6

Calculo numérico de [H^{+}]:
[H^{+}]\approx\sqrt{(1,0\times10^{-10})\cdot0,2}=\sqrt{2,0\times10^{-11}}=4,47\times10^{-6}\\ \mathrm{mol/L}
Expliquei a operação: multipliquei 1,0\times10^{-10} por 0,2 para obter 2,0\times10^{-11} e então calculei a raiz quadrada, resultando em aproximadamente 4,47\times10^{-6}.

Passo 7

Agora calculo o pH usando a definição
\mathrm{pH}=-\log_{10}([H^{+}])
Substituindo [H^{+}]=4,47\times10^{-6}:
\mathrm{pH}=-\log_{10}\bigl(4,47\times10^{-6}\bigr)=-\bigl(\log_{10}(4,47)+\log_{10}(10^{-6})\bigr)=-\bigl(0,6505-6\bigr)=5,3495
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, \mathrm{pH}\approx5,35.

Passo 8

Verificação da aproximação: calculo a razão x/0,2:
\frac{4,47\times10^{-6}}{0,2}=2,24\times10^{-5},
que é muito menor que 5\%, portanto a aproximação 0,2-x\approx0,2 é perfeitamente válida e a resposta é confiável.

Resposta

\mathrm{pH}=5,35

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