( 1,0 - ponto) Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais naio têm preferència. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferencias?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Há
bancos individuais: de frente e de costas. - Há
passageiros ao todo: que preferem sentar de frente, que preferem sentar de costas e que não têm preferência. - Pedem: de quantos modos os
passageiros podem se sentar, respeitadas as preferências (ou seja, cada um que prefere frente deve ficar em um dos bancos de frente; cada um que prefere costas deve ficar em um dos bancos de costas; os sem preferência podem ocupar quaisquer dos assentos restantes).
Nada mais é pedido.
Passo 2
Princípio de contagem que vamos usar (regra do produto): se uma tarefa é feita em etapas sucessivas independentes e a etapa
pode ser feita de
maneiras, a etapa
de
maneiras, etc., então o número total de maneiras de realizar todas as etapas é
. Vou aplicar isso: contar separadamente as maneiras de colocar os que preferem frente, depois os que preferem costas, depois os sem preferência, e multiplicar os resultados.
Passo 3
Noções rápidas necessárias:
- Fatorial: para
inteiro não-negativo, . Ex.: . - Permutação sem repetição de
elementos escolhidos entre : . Conta a forma de escolher e ordenar assentos distintos entre . - Relação útil:
, onde é a combinação (escolher entre sem ordenar) e ordena esses escolhidos.
Vou usar essas fórmulas porque temos assentos distintos e pessoas distintas: escolher quais assentos ocupam e em que ordem (quem em qual assento) é essencial.
Passo 4
Contar de que modo sentar os
passageiros que preferem frente nos
assentos de frente.
- Podemos escolher e ordenar os
passageiros nos assentos de frente de maneiras. - Calcule:
(Equivalente a escolher quais
dos
assentos serão ocupados,
, e permutar os
passageiros nesses assentos,
, dando
.)
Passo 5
Contar de que modo sentar os
passageiros que preferem costas nos
assentos de costas.
- Sem conflito com o passo anterior (assentos de costas são distintos), há
maneiras. - Calcule:
Passo 6
Contar de que modo sentar os
passageiros sem preferência nos assentos restantes.
- Após os passos anteriores restam exatamente
assentos livres: assento de frente (porque ) e assentos de costas (porque ), total assentos distintos. - Colocar e ordenar os
passageiros sem preferência nesses assentos é simplesmente maneiras. - Calcule:
Passo 7
Aplicar a regra do produto: multiplicamos as contagens dos passos anteriores para obter o total de arranjos que respeitam as preferências.
- Multiplicando:
- Fazer as contas em etapas:
Portanto, o número total de modos de sentar, respeitando as preferências, é
.