( 1,0 - ponto) Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais naio têm preferència. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferencias?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • 10 bancos individuais: 5 de frente e 5 de costas.
  • 10 passageiros ao todo: 4 que preferem sentar de frente, 3 que preferem sentar de costas e 3 que não têm preferência.
  • Pedem: de quantos modos os 10 passageiros podem se sentar, respeitadas as preferências (ou seja, cada um que prefere frente deve ficar em um dos 5 bancos de frente; cada um que prefere costas deve ficar em um dos 5 bancos de costas; os 3 sem preferência podem ocupar quaisquer dos assentos restantes).
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Princípio de contagem que vamos usar (regra do produto): se uma tarefa é feita em etapas sucessivas independentes e a etapa 1 pode ser feita de a maneiras, a etapa 2 de b maneiras, etc., então o número total de maneiras de realizar todas as etapas é a\cdot b\cdot\ldots. Vou aplicar isso: contar separadamente as maneiras de colocar os que preferem frente, depois os que preferem costas, depois os sem preferência, e multiplicar os resultados.

Passo 3

Noções rápidas necessárias:
  • Fatorial: para n inteiro não-negativo, n! = n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1. Ex.: 4! = 24.
  • Permutação sem repetição de k elementos escolhidos entre n: \displaystyle P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}. Conta a forma de escolher e ordenar k assentos distintos entre n.
  • Relação útil: \displaystyle P(n,k)=\binom{n}{k}\,k!, onde \binom{n}{k} é a combinação (escolher k entre n sem ordenar) e k! ordena esses escolhidos.
    Vou usar essas fórmulas porque temos assentos distintos e pessoas distintas: escolher quais assentos ocupam e em que ordem (quem em qual assento) é essencial.

Passo 4

Contar de que modo sentar os 4 passageiros que preferem frente nos 5 assentos de frente.
  • Podemos escolher e ordenar os 4 passageiros nos 5 assentos de frente de \displaystyle P(5,4)=\frac{5!}{(5-4)!}=\frac{5!}{1!} maneiras.
  • Calcule:
P(5,4)=\frac{5!}{1!}=\frac{120}{1}=120.
(Equivalente a escolher quais 4 dos 5 assentos serão ocupados, \binom{5}{4}=5, e permutar os 4 passageiros nesses assentos, 4!, dando 5\cdot 24=120.)

Passo 5

Contar de que modo sentar os 3 passageiros que preferem costas nos 5 assentos de costas.
  • Sem conflito com o passo anterior (assentos de costas são distintos), há \displaystyle P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!} maneiras.
  • Calcule:
P(5,3)=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60.

Passo 6

Contar de que modo sentar os 3 passageiros sem preferência nos assentos restantes.
  • Após os passos anteriores restam exatamente 3 assentos livres: 1 assento de frente (porque 5-4=1) e 2 assentos de costas (porque 5-3=2), total 3 assentos distintos.
  • Colocar e ordenar os 3 passageiros sem preferência nesses 3 assentos é simplesmente 3! maneiras.
  • Calcule:
3! = 6.

Passo 7

Aplicar a regra do produto: multiplicamos as contagens dos passos anteriores para obter o total de arranjos que respeitam as preferências.
  • Multiplicando:
120 \times 60 \times 6.
  • Fazer as contas em etapas:
120\times 60 = 7200,
7200\times 6 = 43200.
Portanto, o número total de modos de sentar, respeitando as preferências, é 43200.

Resposta

43200

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