( 1,5 ponto) As chamadas telefônicas chegam em uma empresa na razão de 48 chamadas por hora.
a) determine a probabilidade de chegarem 3 chamadas em cinco minutos;
b) se nenhuma chamada está sendo processada no momento, qual a probabilidade de a telefonista possa ter três minutos para tomar um café sem ser interrompida?

Passo 1

O enunciado descreve um processo de chegadas de chamadas que segue um processo de Poisson com taxa de 48 chamadas por hora. Precisamos:
– (a) calcular a probabilidade de chegarem exatamente 3 chamadas em um intervalo de 5 minutos;
– (b) calcular a probabilidade de não chegar nenhuma chamada em 3 minutos (ou seja, a telefonista fica 3 minutos sem ser interrompida), partindo do estado “nenhuma chamada em processamento”.
Vamos usar que, num processo de Poisson de taxa \lambda por hora, o número de chegadas em intervalo de duração t horas é Poisson com parâmetro \lambda t e que o tempo até a próxima chegada é exponencial de parâmetro \lambda.

Passo 2

Para o item (a), convertemos 5 minutos em horas:
t = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\\ \text{h}.
O número médio de chamadas nesse intervalo é
\lambda t = 48 \times \frac{1}{12} = 4.

Passo 3

O número de chamadas X em 5 minutos segue
X \sim \text{Poisson}(\lambda t=4),
logo
P(X=3) = e^{-4}\,\frac{4^{3}}{3!}.

Passo 4

Para o item (b), o tempo até a próxima chamada é exponencial de parâmetro \lambda=48 chamadas por hora. Queremos
P(\text{nenhuma chegada em }3\text{ min}) = P(T>3\text{ min}).
Convertendo 3 minutos em horas, t = 3/60 = 0,05 h, temos
P(T>t) = e^{-\lambda\,t} = e^{-48 \times 0{,}05} = e^{-2{,}4}.

Resposta

(a) \displaystyle e^{-4}\,\frac{4^{3}}{3!}.
(b) \displaystyle e^{-2{,}4}.

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