( 1,5 ponto) Uma prova de múltipla escolha tem 6 questões e cada questão tem 5 alternativas com somente uma correta. O aluno é aprovado somente se acertar mais de 70 \% das questões. Se um candidato analfabeto resolve esta prova ao acaso, qual a probabilidade de ele ser aprovado?

Passo 1

O enunciado descreve uma prova de múltipla escolha com 6 questões, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta. O candidato “chuta” todas as respostas ao acaso. Ele é aprovado se acertar mais de 70\% das questões. Para resolver, vamos modelar o número de acertos como uma variável aleatória binomial e calcular a probabilidade de obter pelo menos certo número de sucessos.

Passo 2

Identificamos que a distribuição dos acertos é
X \sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=6,\;p=\tfrac{1}{5}\bigr),
onde n=6 é o número de questões e p=\tfrac{1}{5} é a probabilidade de acertar cada questão.

Passo 3

O candidato precisa acertar mais de 70\% das 6 questões. Calculamos
70\%\times 6 = 0,70 \times 6 = 4{,}2.
Como o número de acertos X é inteiro, “mais de 70\%” equivale a X \ge 5.

Passo 4

A probabilidade de aprovação é
P(X\ge5) \;=\; P(X=5) + P(X=6).
Usando a fórmula da binomial,
P(X=k) = \binom{6}{k}\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^{k}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{6-k}.

Passo 5

Calculamos separadamente:
P(X=5) = \binom{6}{5}\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^{5}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{1} = 6 \times \frac{1}{5^{5}}\times \frac{4}{5} = \frac{24}{5^{6}} = \frac{24}{15625} \approx 0{,}001536,
P(X=6) = \binom{6}{6}\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^{6}\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{0} = 1 \times \frac{1}{5^{6}} = \frac{1}{15625} \approx 0{,}000064.

Passo 6

Somando as duas probabilidades:
P(X\ge5) = \frac{24}{15625} + \frac{1}{15625} = \frac{25}{15625} = \frac{1}{625} \approx 0{,}0016.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{625}\approx0{,}0016

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