( 1,5 ponto) Uma prova de múltipla escolha tem 6 questões e cada questão tem 5 alternativas com somente uma correta. O aluno é aprovado somente se acertar mais de
das questões. Se um candidato analfabeto resolve esta prova ao acaso, qual a probabilidade de ele ser aprovado?
Passo 1
O enunciado descreve uma prova de múltipla escolha com
questões, cada uma com
alternativas e apenas uma correta. O candidato “chuta” todas as respostas ao acaso. Ele é aprovado se acertar mais de
das questões. Para resolver, vamos modelar o número de acertos como uma variável aleatória binomial e calcular a probabilidade de obter pelo menos certo número de sucessos.
Passo 2
Identificamos que a distribuição dos acertos é
onde
é o número de questões e
é a probabilidade de acertar cada questão.
Passo 3
O candidato precisa acertar mais de
das
questões. Calculamos
Como o número de acertos
é inteiro, “mais de
” equivale a
Passo 4
A probabilidade de aprovação é
Usando a fórmula da binomial,
Passo 5
Calculamos separadamente:
Passo 6
Somando as duas probabilidades: