(1 ponto) Considerando um campo vetorial
que representa a velocidade em um fluido, a interpretação do rotacional é que partículas em um ponto (
) de um fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na direção de rot
. Se
representar a velocidade da corrente de um rio calmo, que corre somente da direção montante à jusante, o que podemos dizer sobre rot
?
Passo 1
O enunciado fala de um campo vetorial
que dá a velocidade de um fluido. Sabemos que o rotacional,
, mede a tendência local de giro das partículas em torno de um eixo. Queremos aplicar isto a um rio “calmo” que corre apenas da direção montante à jusante, sem redemoinhos nem giro local.
Passo 2
Modelamos a velocidade do rio como um campo que só tem componente na direção do fluxo (digamos
) e nenhuma componente nas outras direções. Assim
Passo 3
Usamos a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
Como
e
, todas as derivadas parciais envolvidas são zero.
Passo 4
Logo
ou seja, o campo é irrotacional e não há giro local das partículas.