(1 ponto) Considerando um campo vetorial \mathbf{F} que representa a velocidade em um fluido, a interpretação do rotacional é que partículas em um ponto ( x, y, z ) de um fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na direção de rot \mathbf{F}(x, y, z). Se \mathbf{F} representar a velocidade da corrente de um rio calmo, que corre somente da direção montante à jusante, o que podemos dizer sobre rot \mathbf{F}(x, y, z) ?

Passo 1

O enunciado fala de um campo vetorial \mathbf{F} que dá a velocidade de um fluido. Sabemos que o rotacional, \nabla\times\mathbf{F}, mede a tendência local de giro das partículas em torno de um eixo. Queremos aplicar isto a um rio “calmo” que corre apenas da direção montante à jusante, sem redemoinhos nem giro local.

Passo 2

Modelamos a velocidade do rio como um campo que só tem componente na direção do fluxo (digamos x) e nenhuma componente nas outras direções. Assim
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(F_x(x,y,z),\,0,\,0\bigr).

Passo 3

Usamos a definição do rotacional em coordenadas cartesianas:
\nabla\times\mathbf{F} = \Bigl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr).
Como F_y=0 e F_z=0, todas as derivadas parciais envolvidas são zero.

Passo 4

Logo
\nabla\times\mathbf{F}(x,y,z) = (0,0,0),
ou seja, o campo é irrotacional e não há giro local das partículas.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}(x,y,z) = \mathbf{0}.

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