Questão 2: Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
\frac{5}{1.2}+\frac{5}{2.3}+\frac{5}{3.4}+\ldots+\frac{5}{n(n+1)}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{n(n+1)}
e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo chave aqui é reconhecer que essa série pode ser escrita por decomposição em frações parciais, o que gera uma soma telescópica.

Passo 2

Decompondo em frações parciais temos
\frac{5}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando em cruz:
5 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes, vem
A+B=0,\quad A=5\quad\Longrightarrow\quad B=-5.
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\frac{5}{n(n+1)}=\frac{5}{n}-\frac{5}{n+1}.

Passo 3

Definindo a soma parcial até N:
S_N = \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{5}{n}-\frac{5}{n+1}\Bigr).
Expandindo alguns termos, observa-se o cancelamento telescópico:
S_N = \bigl(5-\frac{5}{2}\bigr)+\bigl(\frac{5}{2}-\frac{5}{3}\bigr)+\cdots+\bigl(\frac{5}{N}-\frac{5}{N+1}\bigr) =5 - \frac{5}{N+1}.

Passo 4

Para estudar a convergência, calculamos
\lim_{N\to\infty}S_N = \lim_{N\to\infty}\Bigl(5 - \frac{5}{N+1}\Bigr)=5.
Como o limite existe e é finito, a série é convergente e sua soma é 5.

Resposta

A série converge e sua soma é 5.

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