Questão 2: Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo chave aqui é reconhecer que essa série pode ser escrita por decomposição em frações parciais, o que gera uma soma telescópica.
Passo 2
Decompondo em frações parciais temos
Multiplicando em cruz:
Comparando coeficientes, vem
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Passo 3
Definindo a soma parcial até
:
Expandindo alguns termos, observa-se o cancelamento telescópico:
Passo 4
Para estudar a convergência, calculamos
Como o limite existe e é finito, a série é convergente e sua soma é
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.