(1 ponto) Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique o motivo. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(a) \operatorname{rot}(\nabla \cdot \nabla f)
\square
(b) (\operatorname{grad} f) \times(\operatorname{grad}(\operatorname{div} \mathrm{F}))
\square

Passo 1

O enunciado pede para verificar se duas expressões envolvendo operadores vetoriais têm sentido, sabendo que f é um campo escalar e \mathbf{F} é um campo vetorial. Vamos usar as definições de:
\nabla f: gradiente de um escalar, que é um vetor.
\nabla\cdot\mathbf{F}: divergência de um vetor, que é um escalar.
\nabla\times\mathbf{G}: rotacional (curl) de um vetor \mathbf{G}, que só faz sentido se \mathbf{G} for vetor.

Passo 2

Analisando \operatorname{rot}(\nabla\cdot\nabla f):
– Primeiro, \nabla f é um vetor e \nabla\cdot(\nabla f) é a divergência desse vetor, isto é o Laplaciano \Delta f, que é um escalar.
– Em seguida, tenta-se aplicar \operatorname{rot} a \Delta f, mas \operatorname{rot} exige um campo vetorial de entrada.
Logo, não faz sentido computar \operatorname{rot}(\nabla\cdot\nabla f).

Passo 3

Analisando (\nabla f)\times\bigl(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})\bigr):
\nabla f é um vetor.
\nabla\cdot\mathbf{F} é um escalar, e então \nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}) é o gradiente desse escalar, ou seja, outro vetor.
– O produto vetorial entre dois vetores existe e produz um vetor.
Portanto, a expressão faz sentido e resulta num campo vetorial.

Resposta

(a) Não faz sentido, pois \operatorname{rot} não pode ser aplicado a um escalar.
(b) Faz sentido e é um campo vetorial.

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