(2 pontos) Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva parametrizada por \sigma(t)=(1+2 \cos t) \cos t \overrightarrow{\mathbf{i}}+(1+2 \cos t) \sin t \overrightarrow{\mathbf{j}}, no ponto P_{0}=(1, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\sigma(t)=\bigl((1+2\cos t)\cos t,\;(1+2\cos t)\sin t\bigr)
e pede a reta tangente em P_{0}=(1,\sqrt{3}). Sabemos que, se t_{0} satisfaz \sigma(t_{0})=P_{0}, então a reta tangente é
\ell(u)=\sigma(t_{0})+u\,\sigma'(t_{0}).

Passo 2

Precisamos achar t_{0} tal que
(1+2\cos t)\cos t = 1, \quad (1+2\cos t)\sin t = \sqrt{3}.
Chamando \cos t=c e \sin t=s, a primeira dá
c+2c^{2}=1 \;\Longrightarrow\; 2c^{2}+c-1=0 \;\Longrightarrow\; c=\tfrac{1}{2}\text{ ou }c=-1.
Se c=-1 então s=0 e a segunda fica 0\neq\sqrt3, impossível. Logo c=\tfrac12 e daí
(1+2\cdot\tfrac12)\,s=2s=\sqrt3 \;\Longrightarrow\; s=\tfrac{\sqrt3}{2}.
Então t_{0}=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Calculamos \sigma'(t) componente a componente.
Para x(t)=(1+2\cos t)\cos t vale
x'(t)=-\sin t -4\cos t\sin t =-(1+4\cos t)\sin t,
e para y(t)=(1+2\cos t)\sin t vale
y'(t)=\cos t +2(\cos^{2}t-\sin^{2}t).
Em t_{0}=\tfrac{\pi}{3} temos \cos t_{0}=\tfrac12, \sin t_{0}=\tfrac{\sqrt3}{2}, então
x'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-(1+4\cdot\tfrac12)\,\tfrac{\sqrt3}{2} =-3\,\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad y'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\tfrac12+2\bigl(\tfrac14-\tfrac34\bigr) =-\tfrac12.
Um vetor diretor equivalente é (3\sqrt{3},1).

Passo 4

Logo a reta tangente em P_{0} pode ser escrita, usando parâmetro u, por
\ell(u)=(1,\sqrt3)+u\,(3\sqrt{3},1).
Em coordenadas:

Resposta

x(u)=1+3\sqrt{3}\,u
y(u)=\sqrt{3}+u

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