Questão 3: Determine se as Séries abaixo convergem ou divergem. Apresentar todos os cálculos e indicar o teste que foi usado
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar um teste de convergência apropriado, já que o termo geral envolve potências com expoente crescendo quadraticamente.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}.
Queremos saber se \sum a_{n} converge ou diverge.

Passo 3

Como o expoente de \frac{n}{n+1} cresce como n^{2}, o teste da raiz é o mais indicado. O critério da raiz diz que, se
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}
satisfaz L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculamos a n-ésima raiz do valor absoluto de a_{n}:
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^{n^{2}}} = \Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.
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L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 5

Para avaliar
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^{n}, note que
\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n} = \Bigl(1 + \tfrac{1}{n}\Bigr)^{-n} \longrightarrow e^{-1} \quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto L = e^{-1}.

Passo 6

Como e^{-1}<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^{n^{2}} converge absolutamente pelo teste da raiz.

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