( 1,0 ponto) Considere a função
.
a) Verifique que essa função é uma solução da equação diferencial:
b) Determine
, se existir ou explique porque não existe.
a) Verifique que essa função é uma solução da equação diferencial:
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
– (a) verificar que
– (a) verificar que
– (b) calcular a derivada mista
ou justificar por que não existe.
Para isso vamos usar derivadas parciais de funções compostas e a regra do quociente, lembrando que garante que tudo seja suave e as derivadas mistas existam.
Para isso vamos usar derivadas parciais de funções compostas e a regra do quociente, lembrando que
Passo 2
Calculemos primeiro
. Pela regra da cadeia, se
então
Do mesmo modo,
Somando as duas expressões obtém-se
logo a função satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora vamos obter a derivada mista
, onde
Usando a regra do quociente para derivar em
, temos
Essa expressão é contínua em todo
, portanto a derivada mista existe.
Passo 4
Bastará agora avaliar em
:
Resposta
a) De fato
.
b) A derivada mista existe e vale
b) A derivada mista existe e vale