( 1,0 ponto) Considere a função z=ln (e^x+e^y).
a) Verifique que essa função é uma solução da equação diferencial:
partial zpartial x+partial zpartial y=1
b) Determine zx y(1,1), se existir ou explique porque não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
z = lnl(e^x + e^yr)
e pede:
– (a) verificar que
partial zpartial x + partial zpartial y = 1;
– (b) calcular a derivada mista zxy(1,1) ou justificar por que não existe.
Para isso vamos usar derivadas parciais de funções compostas e a regra do quociente, lembrando que e^x+e^y>0 garante que tudo seja suave e as derivadas mistas existam.

Passo 2

Calculemos primeiro
partial zpartial x. Pela regra da cadeia, se u=e^x+e^y então
partial zpartial x = 1u,partial upartial x = e^xe^x + e^y
Do mesmo modo,
partial zpartial y = e^ye^x + e^y
Somando as duas expressões obtém-se
partial zpartial x + partial zpartial y = e^x + e^ye^x + e^y = 1,
logo a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora vamos obter a derivada mista
zxy = partialpartial y!l(zxr), onde
zx = e^xe^x + e^y
Usando a regra do quociente para derivar em y, temos
partialpartial y!l(e^xe^x + e^yr) = 0cdot (e^x+e^y) - e^xcdot e^y(e^x+e^y)^2 = -e^x+y(e^x + e^y)^2
Essa expressão é contínua em todo R^2, portanto a derivada mista existe.

Passo 4

Bastará agora avaliar em (x,y)=(1,1):
zxy(1,1) = -e^1+1l(e^1 + e^1r)^2 = -e^2(2e)^2 = -e^24e^2 = -tfrac14

Resposta

a) De fato partial z/partial x + partial z/partial y = 1.
b) A derivada mista existe e vale
zxy(1,1) = -14

Exercícios relacionados