f(x,y)= x^2+y^2+1, & se x^2+y^2<=4, 0, & se x^2+y^2>4,
e pede para discutir a continuidade em todo o plano. Vamos usar o fato de que polinômios e funções constantes são contínuos nas suas regiões e depois verificar o comportamento na fronteira x^2+y^2=4.
Passo 2
Na região interna (x,y)mid x^2+y^2<4, temos
f(x,y)=x^2+y^2+1,
que é polinomial em x,y. Logo, é contínua em toda essa região.
Passo 3
Na região externa (x,y)mid x^2+y^2>4, temos
f(x,y)=0,
que é função constante. Logo, também é contínua em toda essa região.
Passo 4
Resta verificar a fronteira (x,y)mid x^2+y^2=4. Seja (x0,y0) com x0^2+y0^2=4.
O valor da função em (x0,y0) é, pela definição,
f(x0,y0)=x0^2+y0^2+1=4+1=5
Agora, aproximando-se de (x0,y0) por dentro (x^2+y^2<4), como f(x,y)=x^2+y^2+1, o limite vale
lim(x,y)to(x0,y0),,x^2+y^2<4f(x,y)=5
Por outro lado, aproximando-se por fora (x^2+y^2>4), como f(x,y)=0, o limite vale
lim(x,y)to(x0,y0),,x^2+y^2>4f(x,y)=0
Como esses dois limites não coincidem (uma é 5, a outra é 0), a função não tem limite único na fronteira e, portanto, é descontínua em cada ponto com x^2+y^2=4.
Passo 5
Concluímos que f é contínua em (x,y)mid x^2+y^2<4 e em (x,y)mid x^2+y^2>4, mas é descontínua em todos os pontos da circunferência (x,y)mid x^2+y^2=4.
Resposta
A função f é contínua nas regiões x^2+y^2<4 e x^2+y^2>4 e é descontínua em todos os pontos da fronteira x^2+y^2=4.