(1.0 ponto) Considere que a região
é magnetizada uniformimente com a magneti zação
. O exterior da região é o vácuo.
b. ( 0.5 ponto) Com base no resultado do item (a), determine os vetores
e
no interior e no exterior da região.
b. ( 0.5 ponto) Com base no resultado do item (a), determine os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região onde $ |z| \leq \frac{h}{2} $ que está magnetizada de forma uniforme com a magnetização $ \mathbf{M} = M_0 \hat{a} $. Fora dessa região, todo mundo é vácuo. Nosso objetivo aqui é descobrir os vetores $ \mathbf{B} $ e $ \mathbf{H} $ tanto dentro quanto fora dessa região magnetizada. Para isso, vamos precisar entender as relações entre os campos magnéticos $ \mathbf{B} $, $ \mathbf{H} $ e a magnetização $ \mathbf{M} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético $ \mathbf{B} $ está relacionado com o campo de intensidade magnética $ \mathbf{H} $ e a magnetização $ \mathbf{M} $ pela equação:
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Dentro da região magnetizada ($ |z| \leq \frac{h}{2} $), temos que a magnetização $ \mathbf{M} $ é constante e igual a $ M_0 \hat{a} $. Como não há correntes livres nesse material, podemos usar as equações de Maxwell para campos magnéticos sem corrente livre:
Isso significa que $ \mathbf{H} $ é um campo conservativo e $ \mathbf{B} $ é sem divergência.
Passo 4
Vamos considerar que não há variação nos campos em qualquer direção além de z (simetria do problema). Portanto, os campos $ \mathbf{H} $ e $ \mathbf{B} $ também serão na direção $ \hat{a} $.
Dentro da região magnetizada:
Fora da região (vácuo):
Passo 5
Para determinar $ \mathbf{H} $ dentro e fora, usamos a condição de continuidade do campo $ \mathbf{B} $ na interface. A magnetização cria uma densidade de corrente de magnetização $ \mathbf{J}_m = \nabla \times \mathbf{M} $. Nesse caso, como $ \mathbf{M} $ é constante, $ \mathbf{J}_m = 0 $ dentro da região. Portanto, não há corrente de magnetização contribuindo para o campo $ \mathbf{H} $.
Passo 6
Assim, dentro da região magnetizada, temos:
E fora, como não há magnetização:
Passo 7
Como não há correntes livres e a magnetização é constante, podemos concluir que o campo $ \mathbf{H} $ dentro da região magnetizada é zero:
Portanto, dentro da região:
Fora da região, como não há magnetização:
E para garantir continuidade do campo $ \mathbf{B} $, como não há variação, $ \mathbf{B}_{fora} = 0 $.
Resposta
Dentro da região magnetizada ($ |z| \leq \frac{h}{2} $):
Fora da região ($ |z| > \frac{h}{2} $):