(1.5 pontos) Considere que a região
tenha a mesma permeabilidade do vácuo e que haja corrente distribuida com densidade
O exterior da região é o vácuo.
a. ( 0.75 ponto)Determine o potencial vetor no interior e no exterior no vácuo
a. ( 0.75 ponto)Determine o potencial vetor no interior e no exterior no vácuo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o potencial vetor $ \mathbf{A} $ dentro e fora de uma região onde há uma distribuição de corrente elétrica. A matéria envolvida aqui é Eletromagnetismo, especificamente o estudo do potencial vetor em situações com correntes elétricas. Para resolver, vamos precisar usar a lei de Biot-Savart, que relaciona a corrente elétrica com o potencial vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição da corrente. A densidade de corrente é dada por:
Isso significa que a corrente está direcionada ao longo do eixo $ x $ e sua intensidade depende de $ z^2 $. A região onde essa corrente existe é limitada por $ |z| \leq \frac{h}{2} $.
Passo 3
Para encontrar o potencial vetor $ \mathbf{A} $, usamos a lei de Biot-Savart em sua forma para o potencial vetor:
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, $ \mathbf{r} $ é o ponto onde queremos encontrar $ \mathbf{A} $, e $ \mathbf{r}’ $ é o ponto na distribuição de corrente.
Passo 4
Vamos considerar dois casos: dentro da região da corrente ($ |z| \leq \frac{h}{2}
|z| > \frac{h}{2} $).
Dentro da região ($ |z| \leq \frac{h}{2} $):
A integral para $ \mathbf{A} $ se restringe à região de $ |z’| \leq \frac{h}{2} $. Como a corrente depende de $ z’^2 $, a integração será direta em relação a $ z’ $.
Fora da região ($ |z| > \frac{h}{2} $):
Aqui, não há corrente, então o potencial vetor dependerá apenas das contribuições da região interna.
Passo 5
Para simplificar, assumimos que a corrente está distribuída uniformemente ao longo do eixo $ x $. Isso nos permite integrar facilmente em coordenadas cilíndricas ou cartesianas.
Após realizar a integração, encontramos que o potencial vetor $ \mathbf{A} $ dentro e fora da região é dado por:
Resposta
O potencial vetor é dado por
e