(2.0 pontos) Uma esfera ferromagnética de raio a imersa no vácuo é magnetizada uniformimente com vetor de magnetização
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a. (0.5 ponto) Determine a densidade volumétrica de corrente de magnetização no interior da esfera.
a. (0.5 ponto) Determine a densidade volumétrica de corrente de magnetização no interior da esfera.
Passo 1
Então, galera! A gente tem uma esfera ferromagnética, de raio $ a $, que tá no vácuo e é magnetizada de forma uniforme com o vetor de magnetização $ \mathbf{M} = M_0 \hat{a}_z $. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade volumétrica de corrente de magnetização dentro dessa esfera. Para isso, vamos precisar entender como a magnetização cria correntes internas e usar algumas fórmulas básicas de magnetismo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de corrente de magnetização, que a gente denota por $ \mathbf{J}_m $, está relacionada à rotação do vetor de magnetização. Matematicamente, isso é dado por:
Ou seja, a densidade de corrente de magnetização é o rotacional da magnetização.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{M} $. Nossa magnetização é uniforme e direcionada ao longo do eixo $ z $, então:
Como $ M_0 $ é constante e o vetor é uniforme, as derivadas espaciais de $ \mathbf{M} $ serão nulas. Vamos calcular component por componente usando coordenadas cartesianas.
Passo 4
Calculando o rotacional em coordenadas cartesianas:
Como $ \mathbf{M} = M_0 \hat{a}_z $, temos $ M_x = M_y = 0 $ e $ M_z = M_0 $. Então:
Passo 5
Vimos que o rotacional de $ \mathbf{M} $ é zero dentro da esfera. Isso significa que, no interior, não há densidade volumétrica de corrente de magnetização. Em outras palavras, $ \mathbf{J}_m = 0 $ para pontos dentro da esfera.
Resposta
A densidade volumétrica de corrente de magnetização no interior da esfera é nula, ou seja: