(2.0 pontos) Uma esfera ferromagnética de raio a imersa no vácuo é magnetizada uniformimente com vetor de magnetização M^square=M0 a^wed>= z.
a. (0.5 ponto) Determine a densidade volumétrica de corrente de magnetização no interior da esfera.

Passo 1

Então, galera! A gente tem uma esfera ferromagnética, de raio $ a $, que tá no vácuo e é magnetizada de forma uniforme com o vetor de magnetização $ \mathbf{M} = M_0 \hat{a}_z $. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade volumétrica de corrente de magnetização dentro dessa esfera. Para isso, vamos precisar entender como a magnetização cria correntes internas e usar algumas fórmulas básicas de magnetismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade volumétrica de corrente de magnetização, que a gente denota por $ \mathbf{J}_m $, está relacionada à rotação do vetor de magnetização. Matematicamente, isso é dado por:
Jm
Ou seja, a densidade de corrente de magnetização é o rotacional da magnetização.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{M} $. Nossa magnetização é uniforme e direcionada ao longo do eixo $ z $, então:
M
Como $ M_0 $ é constante e o vetor é uniforme, as derivadas espaciais de $ \mathbf{M} $ serão nulas. Vamos calcular component por componente usando coordenadas cartesianas.

Passo 4

Calculando o rotacional em coordenadas cartesianas:
nabla times M = ( partial Mzpartial y - partial Mypartial z ) ax + ( partial Mxpartial z - partial Mzpartial x ) ay + ( partial Mypartial x - partial Mxpartial y ) az
Como $ \mathbf{M} = M_0 \hat{a}_z $, temos $ M_x = M_y = 0 $ e $ M_z = M_0 $. Então:
M = M0 az

Passo 5

Vimos que o rotacional de $ \mathbf{M} $ é zero dentro da esfera. Isso significa que, no interior, não há densidade volumétrica de corrente de magnetização. Em outras palavras, $ \mathbf{J}_m = 0 $ para pontos dentro da esfera.

Resposta

A densidade volumétrica de corrente de magnetização no interior da esfera é nula, ou seja:
Jm = 0

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