Use qualquer método para determinar se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k+1}}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{3^{k+1}}
converge. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos reconhecer o termo geral como de uma série geométrica para aplicar o critério de convergência (e, se quisermos, calcular a soma).

Passo 2

Reescrevemos o termo geral:
\frac{2^{k}}{3^{k+1}} = \frac{1}{3}\,\frac{2^{k}}{3^{k}} = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k}.
Logo a série fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{3^{k+1}} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k}.

Passo 3

A série \sum_{k=1}^{\infty}(2/3)^{k} é geométrica de razão
r = \frac{2}{3},
e como \lvert r\rvert=\tfrac{2}{3}<1, ela converge.

Passo 4

Para calcular a soma, usamos a fórmula
\sum_{k=1}^{\infty}r^{k} = \frac{r}{1-r}.
Assim,
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{3^{k+1}} = \frac{1}{3}\,\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{2}{3}.

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