Use qualquer método para determinar se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!}.
Isso envolve conceitos de séries numéricas e testes de convergência; aqui vamos usar o teste da razão (para mostrar convergência absoluta) e, em seguida, reconhecer a soma exata da série.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão em a_k = \frac{k}{k!}. Calculamos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{k+1}{(k+1)!}}{\frac{k}{k!}} = \frac{k+1}{(k+1)!\,}\cdot\frac{k!}{k} = \frac{1}{k}.
Como
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{1}{k} = 0 <1,
a série converge absolutamente.

Passo 3

Para achar a soma, reescrevemos o termo geral:
\frac{k}{k!} = \frac{k}{k\,(k-1)!} = \frac{1}{(k-1)!}.
Logo,
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k-1)!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = e.

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é e.

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