(1 ponto) Dada f(t)=ln (t) e g(x, y)=raiz1-9 x^2-9 y^2 ache o domínio de h=f^circ g e esboce um gráfico do domínio de h(x, y).

Passo 1

O enunciado define
h(x,y) = (fcirc g)(x,y) = lnl(g(x,y)r)
com
g(x,y)=raiz,1-9x^2-9y^2,, f(t)=ln(t)
Para achar o domínio de h precisamos garantir que g(x,y) está no domínio de f, isto é, que o argumento do logaritmo seja positivo.

Passo 2

Primeiro impomos que g(x,y) seja real:
1 - 9x^2 - 9y^2 >= 0
Mas como f(t)=ln(t) exige t>0, precisamos ainda de
g(x,y)=raiz,1-9x^2-9y^2,>0 Longrightarrow 1-9x^2-9y^2>0

Passo 3

A condição
1-9x^2-9y^2>0
é equivalente a
9x^2+9y^2<1 Longrightarrow x^2+y^2<19
Logo o domínio de h é o disco aberto de raio tfrac13 centrado na origem.

Passo 4

Para esboçar, desenhe no plano xy um círculo de raio tfrac13 em torno de (0,0) e considere apenas o interior, sem a fronteira. Esse é o domínio de h.

Resposta

O domínio de h é
(x,y)inR^2 mid x^2+y^2<tfrac19,
e seu esboço é o disco aberto de raio tfrac13 centrado na origem.

Exercícios relacionados