Verifique que a função
f(x)=1raiz(1-x^2)^2+k x^2
tem assíntota vertical quando k=0 mas não tem quando k in(0,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
f(x)=1raizl(1-x^2r)^2+k,x^2
tem assíntota vertical quando k=0 e não tem quando kin(0,4).
O conteúdo é análise de assíntota vertical, que aparece exatamente nos pontos onde a função tende a infinito, i.e., onde o denominador se anula. Vamos estudar as raízes do denominador em cada caso.

Passo 2

Caso k=0, o denominador vira
raizl(1-x^2r)^2 = l|1-x^2r|
Logo
f(x)=1l|1-x^2r|
As raízes de 1-x^2=0 são x=pm1. Próximo a x=1, por exemplo, 1-x^2sim -2(x-1), então lvert1-x^2rvertto0 faz f(x)to+infty. O mesmo ocorre em x=-1. Portanto aparecem assíntotas verticais em x=1 e x=-1.

Passo 3

Caso kin(0,4), o quadrado do denominador é
l(1-x^2r)^2+k,x^2 = x^4 -2x^2 +1 + k,x^2 = x^4 + (k-2),x^2 +1
Para estudar quando isto zera, faça y=x^2 e resolva
y^2 + (k-2),y +1 = 0
O discriminante é
De<a = (k-2)^2 -4 = k^2 -4k = k,(k-4)
Para kin(0,4) temos k>0 e k-4<0, logo De<a<0. Assim não existem raízes reais em y e, consequentemente, não há x real que anule o denominador. O denominador está sempre positivo, de modo que f(x) é contínua em R e não tende a infinito em nenhum ponto.

Resposta

Para k=0 há assíntotas verticais em x=pm1.
Para kin(0,4) o denominador jamais se anula, logo não há assíntota vertical.

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