(1.0 Ponto) Demonstre matematicamente que a força magnética sobre uma partícula carregada é zero para qualquer que seja o deslocamento da partícula.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar matematicamente que a força magnética sobre uma partícula carregada realiza trabalho nulo para qualquer deslocamento da partícula. Informações relevantes dadas (ou implícitas) que usaremos:
- A força magnética sobre uma partícula de carga
e velocidade num campo magnético é dada por
- O deslocamento infinitesimal da partícula durante um intervalo de tempo
é .
A tarefa: mostrar que o trabalho realizado pela força magnética ao longo de qualquer trajetória é zero.
Passo 2
Definição matemática do trabalho elementar realizado por uma força ao longo de um deslocamento. Se uma força
atua e a partícula se desloca por
, o trabalho elementar é
Aplicando isso à força magnética
e usando
, o trabalho elementar devido à força magnética é
Passo 3
Definimos a potência instantânea (taxa de trabalho) como
. Substituindo a expressão do passo anterior,
Portanto basta mostrar que o produto escalar
é zero.
Passo 4
Propriedade vetorial usada: o produto vetorial
é um vetor perpendicular tanto a
quanto a
. Geometricamente, se
então
, logo o produto escalar
. Em termos algébricos (componente a componente) isso também fica explícito; escrevendo
e
,
Fazendo o produto escalar com
,
Expandindo e agrupando termos semelhantes observa-se que cada termo se cancela com outro:
Portanto
.
Passo 5
Voltando à potência do passo 3, como
temos
Isso significa que a taxa instantânea de trabalho da força magnética é zero em qualquer instante. Integrando ao longo de uma trajetória de tempo
a
,
Logo o trabalho total realizado pela força magnética ao longo de qualquer deslocamento é zero.
Passo 6
Interpretação física curta e incentivo: isso mostra que a força magnética não pode alterar a energia cinética da partícula (não faz trabalho), apenas muda a direção da velocidade (por isso, por exemplo, num campo magnético uniforme a partícula descreve movimento circular). Vai dar tudo certo — essa propriedade é simples e muito útil em física e provas.