(1.0 Ponto) Demonstre matematicamente que a força magnética sobre uma partícula carregada é zero para qualquer que seja o deslocamento da partícula.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar matematicamente que a força magnética sobre uma partícula carregada realiza trabalho nulo para qualquer deslocamento da partícula. Informações relevantes dadas (ou implícitas) que usaremos:
  • A força magnética sobre uma partícula de carga q e velocidade \mathbf{v} num campo magnético \mathbf{B} é dada por
\mathbf{F}_m = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
  • O deslocamento infinitesimal da partícula durante um intervalo de tempo dt é \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{v}\,dt.
    A tarefa: mostrar que o trabalho realizado pela força magnética ao longo de qualquer trajetória é zero.

Passo 2

Definição matemática do trabalho elementar realizado por uma força ao longo de um deslocamento. Se uma força \mathbf{F} atua e a partícula se desloca por \mathrm{d}\mathbf{r}, o trabalho elementar é
\mathrm{d}W=\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}.
Aplicando isso à força magnética \mathbf{F}_m e usando \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{v}\,dt, o trabalho elementar devido à força magnética é
\mathrm{d}W=\mathbf{F}_m\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}= \bigl(q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot(\mathbf{v}\,dt).

Passo 3

Definimos a potência instantânea (taxa de trabalho) como P=\dfrac{\mathrm{d}W}{dt}. Substituindo a expressão do passo anterior,
P=\frac{\mathrm{d}W}{dt} = q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}.
Portanto basta mostrar que o produto escalar (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v} é zero.

Passo 4

Propriedade vetorial usada: o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{B}. Geometricamente, se \mathbf{c}=\mathbf{v}\times\mathbf{B} então \mathbf{c}\perp\mathbf{v}, logo o produto escalar \mathbf{c}\cdot\mathbf{v}=0. Em termos algébricos (componente a componente) isso também fica explícito; escrevendo \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z),
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \bigl(v_yB_z-v_zB_y,\; v_zB_x-v_xB_z,\; v_xB_y-v_yB_x\bigr).
Fazendo o produto escalar com \mathbf{v},
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v} = v_x(v_yB_z-v_zB_y)+v_y(v_zB_x-v_xB_z)+v_z(v_xB_y-v_yB_x).
Expandindo e agrupando termos semelhantes observa-se que cada termo se cancela com outro:
\begin{aligned} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v} &= v_xv_yB_z - v_xv_zB_y + v_yv_zB_x - v_xv_yB_z + v_zv_xB_y - v_yv_zB_x\\\ &= 0. \end{aligned}
Portanto (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0.

Passo 5

Voltando à potência do passo 3, como (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0 temos
P = q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0.
Isso significa que a taxa instantânea de trabalho da força magnética é zero em qualquer instante. Integrando ao longo de uma trajetória de tempo t_1 a t_2,
W=\int_{t_1}^{t_2} P\,dt = \int_{t_1}^{t_2} 0\,dt = 0.
Logo o trabalho total realizado pela força magnética ao longo de qualquer deslocamento é zero.

Passo 6

Interpretação física curta e incentivo: isso mostra que a força magnética não pode alterar a energia cinética da partícula (não faz trabalho), apenas muda a direção da velocidade (por isso, por exemplo, num campo magnético uniforme a partícula descreve movimento circular). Vai dar tudo certo — essa propriedade é simples e muito útil em física e provas.

Resposta

W=0

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