(1.0 Ponto) Numa televisão, os elétrons, de massa
e carga de módulo
, tem energia cinética
. Suponha que o campo magnético da terra valha
e que sua direção seja ortogonal a do feixe eletrônico. Determine a força magnética sobre o elétron. Do canhão eletrônico até a tela, o elétron percorre uma distância
. Encontre uma expressão para o deslocamento lateral que a força magnética causa sobre o ele. Calcule o deslocamento para o caso em que
, uma velocidade dos elétrons de
e
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
- Dados fornecidos:
- massa do elétron:
(valor conhecido: ). - carga de módulo do elétron:
(valor conhecido: ). - energia cinética do elétron:
(no desenvolvimento usaremos a relação com a velocidade; mais abaixo há um valor numérico da velocidade). - campo magnético da Terra:
, direção ortogonal à do feixe. - distância percorrida do canhão até a tela:
. - caso numérico:
, velocidade dos elétrons e .
- massa do elétron:
- O que o enunciado pede:
- Determinar a força magnética sobre o elétron.
- Encontrar uma expressão para o deslocamento lateral causado por essa força ao longo da distância
. - Calcular numericamente esse deslocamento para os valores dados.
Passo 2
Primeiro: fórmula da força magnética (aula rápida e prática).
- Para uma partícula de carga
que se move com velocidade num campo magnético a força magnética (força de Lorentz) é
- A magnitude dessa força é
onde
é o ângulo entre
e
.
- No problema a direção do campo é ortogonal à do feixe, logo
e . Como a partícula é um elétron usamos o módulo da carga . Assim:
Explicação das variáveis:
é o módulo da carga do elétron (
),
é a velocidade do elétron (
) e
é o módulo do campo magnético (
). Esta é a força perpendicular à velocidade que só muda a direção da velocidade (não faz trabalho).
Passo 3
Segunda etapa: movimento circular provocado pela força magnética e raio da trajetória.
- Quando a força magnética é sempre perpendicular à velocidade a partícula descreve um movimento circular de raio
. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular tem módulo
- Igualando a força magnética à força centrípeta:
- Isolando
obtemos a expressão do raio da circunferência descrita:
Breve comentário didático:
cresce com
(partículas mais rápidas curvam menos) e diminui com
(campo maior curva mais).
Passo 4
Terceira etapa: expressão do deslocamento lateral após percorrer distância
(desenvolvimento geométrico).
- Considere que a partícula começa no ponto inicial com velocidade na direção
positiva. A trajetória é um arco de círculo de raio . Se a partícula percorre um arco de comprimento o ângulo central correspondente é
- Usando a geometria do círculo (centro acima do ponto inicial, velocidade tangente para a direita), as coordenadas do ponto alcançado após o arco são
onde
é o deslocamento lateral (perpendicular à direção inicial). Aqui
é o deslocamento que queremos.
- Substituindo
obtemos a expressão exata do deslocamento lateral:
com
.
- Aproximação útil (para pequenos desvios, quando
): usar . Então
Essa fórmula aproximada é prática na prova quando o desvio é pequeno, mas cuidado: só vale se
for bem menor que
.
Passo 5
Agora aplicando aos valores numéricos fornecidos (transformações e contas explicadas passo a passo).
- Converter
de gauss para tesla: . Então
- Força magnética (valor numérico): usar
.
Note que
. Assim
Arredondando razoavelmente:
- Raio da trajetória
:
Cálculo simplificado (os fatores
cancelam em numerador e denominador):
- Ângulo percorrido
:
- Deslocamento lateral exato:
Para
calculou-se aproximadamente
, daí
Ou seja, em centímetros:
Observação: a aproximação quadrática
daria
— que é completamente errada aqui porque a aproximação só vale para
(aqui
, NÃO pequeno). Portanto é essencial usar a expressão exata.