(1.0 Ponto) Numa televisão, os elétrons, de massa m e carga de módulo e, tem energia cinética K. Suponha que o campo magnético da terra valha B e que sua direção seja ortogonal a do feixe eletrônico. Determine a força magnética sobre o elétron. Do canhão eletrônico até a tela, o elétron percorre uma distância L. Encontre uma expressão para o deslocamento lateral que a força magnética causa sobre o ele. Calcule o deslocamento para o caso em que B=0,5 G, uma velocidade dos elétrons de 5.10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e L=0,3 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • massa do elétron: m (valor conhecido: m=9{,}10938356\cdot10^{-31}\\ \mathrm{kg}).
    • carga de módulo do elétron: e (valor conhecido: e=1{,}602176634\cdot10^{-19}\\ \mathrm{C}).
    • energia cinética do elétron: K (no desenvolvimento usaremos a relação com a velocidade; mais abaixo há um valor numérico da velocidade).
    • campo magnético da Terra: B, direção ortogonal à do feixe.
    • distância percorrida do canhão até a tela: L.
    • caso numérico: B=0{,}5\\ \mathrm{G}, velocidade dos elétrons v=5\cdot10^{5}\\ \mathrm{m/s} e L=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a força magnética sobre o elétron.
    2. Encontrar uma expressão para o deslocamento lateral causado por essa força ao longo da distância L.
    3. Calcular numericamente esse deslocamento para os valores dados.

Passo 2

Primeiro: fórmula da força magnética (aula rápida e prática).
  • Para uma partícula de carga q que se move com velocidade \vec{v} num campo magnético \vec{B} a força magnética (força de Lorentz) é
\vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B}.
  • A magnitude dessa força é
F_B = |q|\,v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.
  • No problema a direção do campo é ortogonal à do feixe, logo \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Como a partícula é um elétron usamos o módulo da carga e. Assim:
F_B = e\,v\,B.
Explicação das variáveis: e é o módulo da carga do elétron ( \mathrm{C}), v é a velocidade do elétron ( \mathrm{m/s}) e B é o módulo do campo magnético ( \mathrm{T}). Esta é a força perpendicular à velocidade que só muda a direção da velocidade (não faz trabalho).

Passo 3

Segunda etapa: movimento circular provocado pela força magnética e raio da trajetória.
  • Quando a força magnética é sempre perpendicular à velocidade a partícula descreve um movimento circular de raio r. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular tem módulo
F_{\text{centr}}=\frac{m v^{2}}{r}.
  • Igualando a força magnética à força centrípeta:
e\,v\,B=\frac{m v^{2}}{r}.
  • Isolando r obtemos a expressão do raio da circunferência descrita:
r=\frac{m v}{e B}.
Breve comentário didático: r cresce com v (partículas mais rápidas curvam menos) e diminui com B (campo maior curva mais).

Passo 4

Terceira etapa: expressão do deslocamento lateral após percorrer distância L (desenvolvimento geométrico).
  • Considere que a partícula começa no ponto inicial com velocidade na direção x positiva. A trajetória é um arco de círculo de raio r. Se a partícula percorre um arco de comprimento s=L o ângulo central correspondente é
\theta=\frac{s}{r}=\frac{L}{r}.
  • Usando a geometria do círculo (centro acima do ponto inicial, velocidade tangente para a direita), as coordenadas do ponto alcançado após o arco são
x = r\sin\theta,\qquad y = r\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde y é o deslocamento lateral (perpendicular à direção inicial). Aqui y é o deslocamento que queremos.
  • Substituindo \theta=L/r obtemos a expressão exata do deslocamento lateral:
\boxed{\,y = r\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{L}{r}\bigr)\Bigr)\,}
com r=\dfrac{m v}{e B}.
  • Aproximação útil (para pequenos desvios, quando L/r\ll1): usar \cos\theta\approx1-\theta^{2}/2. Então
y \approx r\cdot\frac{\theta^{2}}{2}=r\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\frac{L}{r}\Bigr)^{2}=\frac{L^{2}}{2r}.
Essa fórmula aproximada é prática na prova quando o desvio é pequeno, mas cuidado: só vale se \dfrac{L}{r} for bem menor que 1.

Passo 5

Agora aplicando aos valores numéricos fornecidos (transformações e contas explicadas passo a passo).
  • Converter B de gauss para tesla: 1\\ \mathrm{G}=10^{-4}\\ \mathrm{T}. Então
B=0{,}5\\ \mathrm{G}=0{,}5\cdot10^{-4}\\ \mathrm{T}=5\cdot10^{-5}\\ \mathrm{T}.
  • Força magnética (valor numérico): usar F_B=e v B.
F_B = (1{,}602176634\cdot10^{-19})\cdot(5\cdot10^{5})\cdot(5\cdot10^{-5})\\ \mathrm{N}.
Note que 5\cdot10^{5}\cdot5\cdot10^{-5}=25. Assim
F_B \approx 1{,}602176634\cdot10^{-19}\cdot25 \approx 4{,}005441585\cdot10^{-18}\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
F_B \approx 4{,}01\cdot10^{-18}\\ \mathrm{N}.
  • Raio da trajetória r:
r=\frac{m v}{e B}=\frac{9{,}10938356\cdot10^{-31}\cdot5\cdot10^{5}}{1{,}602176634\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-5}}\\ \mathrm{m}.
Cálculo simplificado (os fatores 5 cancelam em numerador e denominador):
r\approx\frac{9{,}10938356\cdot10^{-31}\cdot10^{5}}{1{,}602176634\cdot10^{-19}\cdot10^{-5}} =\frac{9{,}10938356\cdot10^{-26}}{1{,}602176634\cdot10^{-24}} \approx0{,}05687\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo percorrido \theta=L/r:
\theta=\frac{L}{r}=\frac{0{,}3}{0{,}05687}\approx5{,}276\\ \text{rad}.
  • Deslocamento lateral exato:
y=r\bigl(1-\cos\theta\bigr)=0{,}05687\bigl(1-\cos(5{,}276)\bigr)\\ \mathrm{m}.
Para \cos(5{,}276) calculou-se aproximadamente 0{,}53442, daí
y\approx0{,}05687\cdot(1-0{,}53442)\approx0{,}05687\cdot0{,}46558\approx0{,}02648\\ \mathrm{m}.
Ou seja, em centímetros:
y\approx2{,}65\\ \mathrm{cm}.
Observação: a aproximação quadrática y\approx L^{2}/(2r) daria y\approx0{,}3^{2}/(2\cdot0{,}05687)\approx0{,}792\\ \mathrm{m} — que é completamente errada aqui porque a aproximação só vale para L/r\ll1 (aqui L/r\approx5{,}3, NÃO pequeno). Portanto é essencial usar a expressão exata.

Resposta

F_B = e\,v\,B \approx 4{,}01\cdot10^{-18}\\ \mathrm{N}\n
y = r\bigl(1-\cos(\tfrac{L}{r})\bigr) com r=\dfrac{m v}{e B}; para os dados dados y\approx0{,}0265\\ \mathrm{m} (aprox. 2{,}65\\ \mathrm{cm})

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