(0,4 ponto) Deseja-se fazer a decomposição aditiva de uma série temporal. Faça o cálculo do efeito sazonal para os 4 trimestres e complete a tabela.
Q1 Q2 Q3 Q4
TOTAL (Soma)
Correção
Média
Efeito
Sazonal
t período X(t) MM(4) Tendência (T) X(t) - T Sazonal (S) Erros (C + E) reconstrução
1 21 Q1 10
2 21 Q 2 18
3 21 Q3 8 15,75 16,50000 -8,50000
4 21 Q 4 27 17,25 18,87500 8,12500
5 22 Q 1 16 20,5 21,25000 -5,25000
6 22 Q 2 31 22 23,00000 8,00000
7 22 Q3 14 24 24,12500 -10,12500
8 22 Q 4 35 24,25 23,75000 11,25000
9 23 Q 1 17 23,25 23,75000 -6,75000
10 23 Q2 27 24,25 24,37500 2,62500
11 23 Q3 18 24,5 25,87500 -7,87500
12 23 Q 4 36 27,25 28,50000 7,50000
13 24 Q1 28 29,75 30,12500 -2,12500
14 24 Q2 37 30,5 33,37500 3,62500
15 24 Q3 21 36,25
16 24 Q4 59

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos decompor aditivamente a série trimestral X(t) em tendência T(t), sazonalidade S e resíduo, usando as médias móveis centradas de ordem 4 já calculadas. Já temos em cada trimestre o valor de X(t), a média móvel de 4 termos e a tendência T(t), bem como as diferenças X(t)-T(t) para t=3,\dots,14. O objetivo é calcular o efeito sazonal para cada um dos 4 trimestres e completar a tabela com S, o resíduo X(t)-T(t)-S e a reconstrução T(t)+S.

Passo 2

Coleto as diferenças \Delta(t)=X(t)-T(t) por trimestre, para os 12 períodos em que T(t) está disponível:
Para \mathrm{Q}1: \Delta_{5}=-5{,}25,\;\Delta_{9}=-6{,}75,\;\Delta_{13}=-2{,}125.
Para \mathrm{Q}2: \Delta_{6}=8{,}00,\;\Delta_{10}=2{,}625,\;\Delta_{14}=3{,}625.
Para \mathrm{Q}3: \Delta_{3}=-8{,}50,\;\Delta_{7}=-10{,}125,\;\Delta_{11}=-7{,}875.
Para \mathrm{Q}4: \Delta_{4}=8{,}125,\;\Delta_{8}=11{,}250,\;\Delta_{12}=7{,}500.

Passo 3

Calculo, para cada trimestre k, a soma e a média bruta dos \Delta, depois a correção para que a soma dos efeitos sazonais seja zero:
\text{Soma}_k,\quad \text{Média}_k = \frac{\text{Soma}_k}{3},\quad \text{Correção} = \frac{\sum_{k=1}^4\text{Média}_k}{4},éçãé
e o efeito sazonal ajustado
S_k = \text{Média}_k - \text{Correção}.éçã

Passo 4

Construo a tabela-resumo dos efeitos sazonais:
\begin{array}{lrrrr} \hline \text{Trimestre} & \text{Soma} & \text{Média} & \text{Correção} & \;S\;(=\text{Média}-\text{Correção})\\\ \hline \mathrm{Q}1 & -14{,}125 & -4{,}7083 & 0{,}0417 & -4{,}7500\\\ \mathrm{Q}2 & 14{,}250 & 4{,}7500 & 0{,}0417 & 4{,}7083\\\ \mathrm{Q}3 & -26{,}500 & -8{,}8333 & 0{,}0417 & -8{,}8750\\\ \mathrm{Q}4 & 26{,}875 & 8{,}9583 & 0{,}0417 & 8{,}9167\\\ \hline \end{array}

Passo 5

Preencho a tabela de decomposição, atribuindo a cada período o S correspondente, calculando o resíduo X(t)-T(t)-S e a reconstrução T(t)+S:
\begin{array}{|r|l|r|r|r|r|r|r|r|} \hline t & \text{período} & X(t) & MM(4) & T(t) & X(t)-T(t) & S & \text{Resíduo} & T(t)+S\\\ \hline 3 & 21\;\mathrm{Q}3 & 8 & 15{,}75 & 16{,}5000 & -8{,}5000 & -8{,}8750 & 0{,}3750 & 7{,}6250\\\\ 4 & 21\;\mathrm{Q}4 & 27 & 17{,}25 & 18{,}8750 & 8{,}1250 & 8{,}9167 & -0{,}7917 & 27{,}7917\\\\ 5 & 22\;\mathrm{Q}1 & 16 & 20{,}50 & 21{,}2500 & -5{,}2500 & -4{,}7500 & -0{,}5000 & 16{,}5000\\\\ 6 & 22\;\mathrm{Q}2 & 31 & 22{,}00 & 23{,}0000 & 8{,}0000 & 4{,}7083 & 3{,}2917 & 27{,}7083\\\\ 7 & 22\;\mathrm{Q}3 & 14 & 24{,}00 & 24{,}1250 & -10{,}1250& -8{,}8750 & -1{,}2500 & 15{,}2500\\\\ 8 & 22\;\mathrm{Q}4 & 35 & 24{,}25 & 23{,}7500 & 11{,}2500 & 8{,}9167 & 2{,}3333 & 32{,}6667\\\\ 9 & 23\;\mathrm{Q}1 & 17 & 23{,}25 & 23{,}7500 & -6{,}7500 & -4{,}7500 & -2{,}0000 & 19{,}0000\\\\ 10& 23\;\mathrm{Q}2 & 27 & 24{,}25 & 24{,}3750 & 2{,}6250 & 4{,}7083 & -2{,}0833 & 29{,}0833\\\\ 11& 23\;\mathrm{Q}3 & 18 & 24{,}50 & 25{,}8750 & -7{,}8750 & -8{,}8750 & 1{,}0000 & 17{,}0000\\\\ 12& 23\;\mathrm{Q}4 & 36 & 27{,}25 & 28{,}5000 & 7{,}5000 & 8{,}9167 & -1{,}4167 & 37{,}4167\\\\ 13& 24\;\mathrm{Q}1 & 28 & 29{,}75 & 30{,}1250 & -2{,}1250 & -4{,}7500 & 2{,}6250 & 25{,}3750\\\\ 14& 24\;\mathrm{Q}2 & 37 & 30{,}50 & 33{,}3750 & 3{,}6250 & 4{,}7083 & -1{,}0833 & 38{,}0833\\\ \hline \end{array}

Resposta

Efeitos sazonais finais: \;S_{\mathrm{Q}1}=-4{,}7500,\quad S_{\mathrm{Q}2}=4{,}7083,\quad S_{\mathrm{Q}3}=-8{,}8750,\quad S_{\mathrm{Q}4}=8{,}9167.

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