Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots eventos aleatórios. Mostre que:
P\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq 1-\sum_{k=1}^{n} P\left(A_{k}^{c}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados eventos \,A_{1},A_{2},\dots,A_{n}, vale a desigualdade
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\Bigr)\;\ge\;1-\sum_{k=1}^{n}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr).
O que vamos usar é o axioma de probabilidade que diz P(A)=1-P(A^{c}), a lei de De Morgan e a subaditividade de probabilidade (desigualdade de Boole).

Passo 2

Pela lei de De Morgan sabemos que
\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\Bigr)^{c} = \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}^{c}.
Então usando o axioma do complemento temos
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigl(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\bigr)^{c}\Bigr) =1 - P\Bigl(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}^{c}\Bigr).

Passo 3

Pela desigualdade de Boole (ou subaditividade) temos
P\Bigl(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}^{c}\Bigr) \le \sum_{k=1}^{n}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr).

Passo 4

Substituindo essa cota em P(\bigcap A_{k}) obtemos
P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\Bigr) \ge 1 - \sum_{k=1}^{n}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

P\Bigl(\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\Bigr)\;\ge\;1-\sum_{k=1}^{n}P\bigl(A_{k}^{c}\bigr).

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