(2) (1.0 ponto) Determine o domínio de definição da função f(z)=\operatorname{Arg}\left(\frac{1}{z-\bar{z}}\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(z)=\Arg\!\bigl(\tfrac{1}{z-\bar z}\bigr).
Para que f(z) exista, é preciso que o argumento de \Arg seja bem-definido e não nulo. Assim, devemos exigir
  1. z-\bar z\neq0 (para não dividir por zero) e
  2. \tfrac{1}{z-\bar z}\neq0 (para o Arg ser aplicado).

Passo 2

Note que, escrevendo z=x+iy, temos
z-\bar z=(x+iy)-(x-iy)=2i\,y.
Logo z-\bar z=0 se e somente se y=0. Para y\neq0 temos z-\bar z\neq0 e portanto \tfrac{1}{z-\bar z} é um número não-nulo, ponto em que \Arg está definido.

Resposta

O domínio de f é
\{\,z=x+iy\in\mathbb{C}\mid y\neq0\},
isto é, o plano complexo sem o eixo real.

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