(2.0 pontos) Com relação ao conjunto
, podemos dizer que
é aberto? S é fechado? S é limitado? S é conexo? Justifique suas respostas.
Passo 1
O conjunto dado é
Como
, temos
Logo
O que estudaremos são propriedades de topologia em
: abertura, fechamento, limititude e conexidade de
.
Passo 2
Para ver que
é aberto, note que a aplicação
é contínua (polinomial em
). E
como
é aberto, seu pré-imagem
também é aberto.
Passo 3
Para ver que
não é fechado, basta observar que existem sequências em
que convergem a pontos de contorno onde
. Por exemplo, escolha
que satisfaz
. Mas
e
, de modo que o limite cai fora de
. Logo
não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.
Passo 4
Passo 5
Quanto à conexidade, note que
Isso mostra que
se decompõe em dois braços disjuntos: um com
e outro com
. Cada braço é aberto e não há curva em
que ligue um braço ao outro, logo
é desconexo.