(2.0 pontos) Com relação ao conjunto S=\left\{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)>1\right\}, podemos dizer que S é aberto? S é fechado? S é limitado? S é conexo? Justifique suas respostas.

Passo 1

O conjunto dado é
S = \{\,z\in\mathbf{C} : \Re(z^2)>1\}.
Como z=x+iy, temos
z^2 = x^2 - y^2 + i\,2xy \quad\Longrightarrow\quad \Re(z^2)=x^2 - y^2.
Logo
S = \{(x,y)\in\mathbf{R}^2 : x^2 - y^2 > 1\}.
O que estudaremos são propriedades de topologia em \mathbf{C}\simeq\mathbf{R}^2: abertura, fechamento, limititude e conexidade de S.

Passo 2

Para ver que S é aberto, note que a aplicação
f:\mathbf{C}\to\mathbf{R},\quad f(z)=\Re(z^2)
é contínua (polinomial em x,y). E
S = f^{-1}\bigl((1,\infty)\bigr),
como (1,\infty)\subset\mathbf{R} é aberto, seu pré-imagem S também é aberto.

Passo 3

Para ver que S não é fechado, basta observar que existem sequências em S que convergem a pontos de contorno onde \Re(z^2)=1. Por exemplo, escolha
z_n = \sqrt{1+\tfrac1n}\,,\quad n\ge1,
que satisfaz \Re(z_n^2)=1+\tfrac1n>1. Mas z_n\to1 e \Re(1^2)=1\not>1, de modo que o limite cai fora de S. Logo S não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.

Passo 4

S não é limitado porque, por exemplo, para y=0 e x\to+\infty temos \Re((x+0i)^2)=x^2>1, então (x,0)\in S para todo x>1 e x pode crescer sem limite. Assim S é ilimitado.

Passo 5

Quanto à conexidade, note que
x^2 - y^2>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>\sqrt{1+y^2} \\ \\ \text{ou}\\ \\ x<-\sqrt{1+y^2}.
Isso mostra que S se decompõe em dois braços disjuntos: um com x>1 e outro com x<-1. Cada braço é aberto e não há curva em S que ligue um braço ao outro, logo S é desconexo.

Resposta

S é aberto;
S não é fechado;
S não é limitado;
S não é conexo.

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