Use qualquer método para determinar se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste da razão (ou de d’Alembert), que é direto para séries envolvendo fatorial, potências e polinômios em k.

Passo 2

Seja a_{k} = \frac{k}{5^{k}}. Aplicando o teste da razão, consideramos
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\frac{k+1}{5^{\,k+1}}}{\frac{k}{5^{k}}} = \frac{k+1}{5^{\,k+1}}\cdot\frac{5^{k}}{k} = \frac{k+1}{5k}.
Agora calculamos o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{5k} = \frac{1}{5}.
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 3

Concluímos que a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} converge, pois no teste da razão obtemos um valor menor que 1.

Resposta

A série converge pela aplicação do teste da razão (d’Alembert).

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