6- ( 1,0 ponto) Determine a solução para a seguinte equação exponencial:
16 \cdot 2^{2 x}=\sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[3]{2}
a) \frac{\mathbf{2 3}}{\mathbf{2 4}}
b) -\frac{23}{24}
c) -\frac{11}{12}
d) -\frac{1}{12}
e) -\frac{24}{23}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
16\cdot2^{2x}=\sqrt[6]{64}\,\cdot\sqrt[4]{8}\,\cdot\sqrt[3]{2}
e pede o valor de x. Para resolver, vamos usar propriedades de potências e radiciação, expressando tudo em base 2.

Passo 2

No lado esquerdo temos
16\cdot2^{2x}=2^4\cdot2^{2x}=2^{4+2x}.

Passo 3

No lado direito calculamos cada raiz em base 2:
\sqrt[6]{64}=(2^6)^{1/6}=2^1,\quad \sqrt[4]{8}=(2^3)^{1/4}=2^{3/4},\quad \sqrt[3]{2}=2^{1/3}.
Multiplicando:
\sqrt[6]{64}\,\cdot\sqrt[4]{8}\,\cdot\sqrt[3]{2} =2^{1+3/4+1/3} =2^{\frac{12+9+4}{12}} =2^{\frac{25}{12}}.

Passo 4

Igualando as potências de base 2:
2^{4+2x}=2^{\frac{25}{12}} \quad\Longrightarrow\quad 4+2x=\frac{25}{12} \quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{25}{12}-4=\frac{25-48}{12}=-\frac{23}{12} \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{23}{24}.

Passo 5

Essa solução corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) -\frac{23}{24}

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