5- (1,0 ponto) Resolva a expressão utilizando produtos notáveis:
\frac{\left(x^{2}-3^{2}\right) \cdot(x+3)^{3}}{(x+3) \cdot(x-3)}-(3 x+3)^{2}
a) -x^{2}+39 x+9
b) 18 x^{2}+15 x+18
c) x^{3}+15 x+18
d) x^{3}-15 x+18
e) x^{3}+39 x+36

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão usando produtos notáveis:
\frac{\bigl(x^{2}-3^{2}\bigr)\,(x+3)^{3}}{(x+3)\,(x-3)} \;-\;(3x+3)^{2}.
O conteúdo envolvido é fatoração de diferença de quadrados, cancelamento de fatores e expansão de potências.

Passo 2

Use a fatoração de diferença de quadrados
x^{2}-3^{2}=(x-3)(x+3),
então o numerador fica
(x-3)(x+3)\,(x+3)^{3}=(x-3)\,(x+3)^{4}
e o denominador é (x+3)(x-3). Cancelando, sobra
\frac{(x-3)\,(x+3)^{4}}{(x-3)\,(x+3)}=(x+3)^{3}.

Passo 3

Expanda o primeiro termo
(x+3)^{3}=(x+3)^{2}(x+3)=(x^{2}+6x+9)(x+3)
\quad= x^{3}+9x^{2}+27x+27.

Passo 4

Expanda o segundo termo usando (3x+3)=3(x+1)
(3x+3)^{2}=9\,(x+1)^{2}=9\,(x^{2}+2x+1)=9x^{2}+18x+9.

Passo 5

Subtraia as expansões:
\bigl(x^{3}+9x^{2}+27x+27\bigr)\;-\;\bigl(9x^{2}+18x+9\bigr)
= x^{3}+\bigl(9x^{2}-9x^{2}\bigr)+\bigl(27x-18x\bigr)+\bigl(27-9\bigr)
= x^{3}+9x+18.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, não há nenhum polinômio igual a x^{3}+9x+18.

Resposta

A expressão simplificada é x^{3}+9x+18, o que não corresponde a nenhuma das opções listadas.

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