Os pontos A(2,7), B(-3,0) e C(16,5) são colineares?

Passo 1

O enunciado pergunta se os pontos A(2,7), B(-3,0) e C(16,5) estão sobre uma mesma reta, ou seja, se são colineares. Para isso vamos usar vetor posição e calcular o determinante de dois vetores formados pelos pontos. Se o determinante for zero, eles são colineares; caso contrário, não são.

Passo 2

Definimos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 2,\;0 - 7) = (-5,\,-7)
\overrightarrow{AC} = C - A = (16 - 2,\;5 - 7) = (14,\,-2)

Passo 3

O teste de colinearidade em duas dimensões pode ser feito pelo determinante destes vetores:
\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = (-5)(-2) \;-\;(-7)(14) = 10 \;+\; 98 = 108.
Como \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \neq 0, os vetores não são múltiplos um do outro e, portanto, os pontos não estão na mesma reta.

Resposta

Não. Os pontos A, B e C não são colineares.

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