( 1,0 ponto) Determine a soma da série geométrica
\sum_{n=1}^{+\infty} 3^{n} \cdot 5^{1-n}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{+\infty}3^{n}\cdot5^{1-n}.
Isso é uma série geométrica, pois cada termo pode ser escrito como a_1 vezes uma razão r elevada a n-1. Lembrando que, se \lvert r\rvert<1, a soma é
S = \frac{a_1}{1-r}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral:
3^n\cdot5^{1-n} =5\cdot3^n\cdot\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^{n} =5\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{n}.
Quando n=1, o primeiro termo vale
a_1=5\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)=3,
e a razão entre termos consecutivos é
r=\frac{3}{5}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert=\tfrac{3}{5}<1, aplicamos a fórmula da soma:
S=\frac{a_1}{1-r} =\frac{3}{1-\tfrac{3}{5}} =\frac{3}{\tfrac{2}{5}} =\frac{15}{2}.

Resposta

A soma da série é \displaystyle \frac{15}{2}.

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