(1,0 ponto) Encontre uma fórmula para o termo geral a_{n} da sequência
-\frac{m}{5 m}\left\{\frac{3}{5},-\frac{4}{25}, \frac{5}{125},-\frac{6}{625}, \cdots\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\frac{3}{5},\;-\frac{4}{25},\;\frac{5}{125},\;-\frac{6}{625},\;\ldots
e pede uma fórmula para o termo geral a_{n}. Para isso vamos identificar o padrão do numerador, do denominador e do sinal de cada termo.

Passo 2

Analisando os denominadores vemos que eles são
5,\;25,\;125,\;625,\;\ldots
ou seja, potências de 5 de ordem 1,2,3,4,\ldots. Logo o denominador do n-ésimo termo é 5^{n}.

Passo 3

Analisando os numeradores em valor absoluto temos
3,\;4,\;5,\;6,\;\ldots
que é uma progressão aritmética de primeiro termo 3 e razão 1. Portanto o numerador em valor absoluto é n+2.

Passo 4

Observando os sinais dos termos, eles alternam começando positivo, ou seja,
+,\;-,\;+,\;-,\;\ldots
Logo o fator de sinal é (-1)^{n+1}.

Passo 5

Combinando os três padrões (sinal, numerador e denominador), obtemos
a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac{n+2}{5^{n}}.

Resposta

a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac{n+2}{5^{n}}.

Exercícios relacionados